Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

20. Приближения высших порядков.

До сих пор мы рассматривали только снятие вырождения в нулевом приближении. Применение теории возмущения для расчета поправок более высоких приближений, естественно, приведет к дальнейшему изменению волновых функций и энергетических уровней. Оказывается, что возможно получить некоторые выводы о природе этих изменений и без непосредственного детального решения рассматриваемой задачи. Эти выводы основаны на том факте, что если две частицы одинаковы, то полный оператор Гамильтона должен быть симметричной функцией относительно координат каждой частицы. Если бы это было не так, то две частицы нельзя было бы считать тождественными, потому что под тождественностью мы понимаем одинаковое поведение обеих частиц при любом возможном возмущении. Например, в частном случае атома гелия полный гамильтониан действительно симметричен относительно обеих частиц (см. уравнение (19.37)).

В общем случае возмущенная волновая функция будет зависеть от матричных элементов между состояниями нулевого приближения

и другими состояниями. Можно легко показать, что если гамильтониан симметричен, то матричные элементы для любых переходов между симметричными и антисимметричными функциями. Для доказательства рассмотрим матричный элемент

где — симметричная, а — антисимметричная функция. Написанный интеграл берется по следовательно, он не должен изменяться при перемене местами так как это просто изменение обозначения независимых переменных интегрирования. Такой обмен местами координат оставляет потенциал а также функцию неизменными, поскольку это симметричные функции. Функция же изменяет при этом знак. Поэтому обмен местами частиц изменяет знак подынтегральной функции в целом. Следовательно, мы получаем что может быть, только если

Полученный результат означает, что если исходить из определенной симметрии функции нулевого приближения, то последующие волновые функции, полученные для более высоких приближений, должны иметь ту же самую симметрию. Все стационарные состояния системы, содержащей две тождественные частицы, должны поэтому иметь или симметричные, или антисимметричные волновые функции. Следовательно, классификация уровней на симметричные и антисимметричные, полученная вначале в нулевом приближении, сохраняется во всех приближениях.

Другой способ трактовки этой задачи связан с использованием теории возмущений, зависящей от времени. Если функция вначале обладала определенной симметрией и если она подвергается симметричным возмущениям, что имеет место для двух тождественных частиц, то вследствие равенства нулю соответствующих матричных элементов не будет никаких переходов функций в какую-либо другую симметрию. Следовательно, тип симметрии в функции сохраняется на все времена. Таким образом, можно утверждать, что тип симметрии функции является постоянной движения системы тождественных частиц.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление