Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

25. Система из многих электронов.

Обобщим теорию на случай системы, имеющей произвольное число электронов. Если обозначить нормированные невозбужденные волновые функции отдельной частицы (зависящие и от пространственных координат, и от спина) через то типичная невозмущенная волновая функция для такой системы равна произведению

Эта волновая функция вырождена в том смысле, что получается одна и та же энергия при обмене любых двух частиц. В общем случае при обмене частиц можно получить различных волновых функций, по одной для каждой перестановки частиц между волновыми функциями. Точные волновые функции нулевого порядка, снимающие вырождение, должны быть линейной комбинацией этих невозмущенных функций.

Общая задача снятия вырождения довольно сложна. Однако если мы ограничимся случаем электрона, то задача значительно упростится, потому что в этом случае волновая функция должна быть антисимметричной при обмене любых двух частиц. Функция такого рода называется полностью антисимметричной функцией. Слейтер показал, что такая функция представляется детерминантом ([16], стр. 237 или стр. 252 перевода)

Легко проверить, что это как раз такая функция, которая нам нужна. Прежде всего замечаем, что детерминант равен

где символ означает операцию перестановки каких-то двух частиц между волновыми функциями. Знак каждого члена будет или в зависимости от того, имеем ли мы четную или нечетную перестановку. Сумма берется по всем возможным перестановкам. Таким образом, детерминант (19.53) является линейной комбинацией вырожденных собственных функций. Антисимметричность его при обмене любых двух частиц легко доказывается, если учесть, что такой обмен приводит к перемене местами двух строк детерминанта. Хорошо известно, что детерминант изменяет знак при перемене местами двух строк.

Задача 6. Доказать с помощью уравнения Шредингера, что если гамильтониан является симметричной функцией пространственных и спиновых координат всех частиц, то можно Пренебречь переходами в состояния с другой энергией, и тогда волновая функция, пропорциональная вначале детерминанту Слейтера (19.53), остается пропорциональной ему в течение всего времени.

Из задачи 6 непосредственно вытекает, что обменное вырождение снимается выбором антисимметричной функции. Мы получили линейную комбинацию вырожденных собственных функций, которая не изменяется в нулевом приближении с течением времени.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление