Главная > Математика > Линейный регрессионный анализ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. Квадратичные формы от нормальных случайных величин

Весьма трудно удержаться от того, чтобы не привести в этом параграфе большого количества "популярных" теорем о квадратичных формах, доказанных в течение последних 20—30 лет. Однако, хотя эти теоремы сами по себе и интересны, они не являются необходимыми для дальнейшего изложения, поскольку теоремы 2.7 (§2.3) и 1.10 (§ 1.5) достаточно общие. Мы приведем только два весьма элегантных результата относительно идемпотентных матриц, которые очень легко использовать.

Теорема 2.8. Пусть и — некоторая симметричная матрица размера имеющая ранг Тогда для того, чтобы квадратичная форма имела распределение необходимо и достаточно, чтобы (т. е. матрица была идемпотентной).

Доказательство. Пусть Тогда собственных значений матрицы равны единице, а остальные ее собственных значений равны нулю Поэтому существует такая ортогональная матрица для которой где определяется в доказательстве Если то поскольку (теорема 2.3), так что случайные величины независимы и каждая из них имеет распределение Поэтому

Обратно, пусть Тогда Поскольку матрица симметрична, то существует ортогональная матрица для которой где значения матрицы Положим Тогда

Однако так что случайные величины независимы и каждая из них распределена как Следовательно,

Поэтому

и

тождественно по для достаточно малых В силу единственности системы корней многочлена отсюда вытекает, что значений должны равняться единице и значений нулю. Таким образом,

Пример 2.5. Пусть Докажите, что

Решение. В соответствии с доказанной теоремой матрица А является симметричной идемпотентной матрицей ранга Матрица также может быть выбрана симметричной, и при этом

Еще раз применяя указанную теорему, получаем, что где в силу

Пример 2.6. Пусть причем каждая из квадратичных форм имеет распределение хи-квадрат. Покажите, что эти квадратичные формы независимы тогда и только тогда, когда

Решение. Поскольку имеет распределение хи-квадрат, то матрица симметрична и идемпотентна. Если то (равная не зависит от с теоремой 2.7).

Обратно, пусть и независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение хи-квадрат. Тогда их сумма также имеет распределение хи-квадрат, т. е.

или

Умножая соотношение (2.18) слева (справа) на получаем пару уравнений

Отсюда и из уравнения (2.18) имеем

(Заметим, что предположение о том, что имеют распределение хи-квадрат, в действительности не является необходимым. Доказательство этого можно найти у Lancaster (1969).)

Пример 2.7. Пусть Докажите, что

Решение. Как и в примере 1.12 из § 1.4, мы находим, что где матрица идемпотентна. Поэтому и искомый результат вытекает из теоремы 2.8.

Теорема 2.9. (Hogg, Craig (1958, 1970)). Пусть . Если то независимы и имеют распределения соответственно.

Доказательство. Если то (теорема 2.8). Кроме того, из вытекает, что матрица положительно полу определена. Поэтому она идемпотентна Отсюда в соответствии с теоремой 2.8 получаем, что где

В силу имеем также так что Поскольку к тому же то используя пример 2.6, мы приходим к выводу о том, что квадратичная форма (равная не зависит от квадратичной формы (равной

Вопросам независимости квадратичных форм от нормальных случайных величин посвящена весьма обширная литература. За соответствующими ссылками читатель может обратиться к статье Styan (1970). Ряд существенно более коротких доказательств хорошо известных результатов привел Searle (1971, § 2.5, теоремы 3 и 4). Однако эти доказательства, использующие теорему 2.6 из настоящей главы, требуют и более тщательного разбора, поскольку они содержат комплекснозначные линейные комбинации нормальных случайных величин (так, например, теореме 3 книги Searle (1971) может принимать комплексные значения).

Имеются и более общие варианты теорем 2.8 и 2.9 Интересующийся ими читатель может также обратиться к Searle (1971, § 2.5).

Упражнения 2d

(см. скан)

Упражнения к гл. 2

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление