Главная > Математика > Линейный регрессионный анализ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.11. Оптимальное планирование

Каким образом экспериментатор выбирает матрицу X? На этот счет имеется целый ряд различных критериев. Наиболее популярны два из них. Первый состоит в минимизации значения или, что равносильно, максимизации значения Такой выбор матрицы X называется -оптимальным. Второй метод состоит в минимизации полной или средней дисперсии, т. е. минимизации величины Понятие -оптимальности, предложенное Kiefer (1959), весьма широко исследовано (по поводу обзора результатов и библиографии см. St. John, Draper (1975)). Многие из результатов первоначально были получены для частного случая полиномиальной регрессии (§ 8.4). Принцип -оптимальности еще более укрепился благодаря так называемой теореме эквивалентности [Kiefer, Wolfowitz (1960); см. также Whittle (1973), Silvey, Titterington (1974), Карлин, Стадден (1976, Новые идеи в планировании эксперимента (1969, Kiefer (1974], согласно которой максимизация определителя по некоторой области X равносильна минимизации максимальной дисперсии оценки для План, обладающий этим последним свойством, называется -оптимальным или минимаксным. В настоящее время имеется целый ряд алгоритмов для построения -оптимальных планов. Обзор их можно найти в работах St. John, Draper (1975). Фёдоров (1971, Фёдоров, Успенский (1975.

Хотя критерий, основанный на следе матрицы приводит к матрице X, имеющей ортогональные столбцы (§ 3.5, лемма), у него имеется ряд недостатков (например, зависимость от масштаба регрессоров), так что общее предпочтение отдается -оптимальности (см., например, Box М. J, Draper (1971)). Однако иногда экспериментальные планы удовлетворяют обоим критериям. Таков, например, -план с (по поводу доказательства, см. Box М. J, Draper (1971, приложение)).

Иногда -оптимальные планы предусматривают проведение эксперимента при числе последовательно создаваемых различных условий, равном числу оцениваемых параметров, как, например, в случае полиномиальной регрессии (§ 8.4), так что такой план может оказаться бесполезным с точки зрения проверки адекватности модели или сравнения конкурирующих моделей. Один из возможных подходов состоит здесь в том (Atkinson (1972), Atkinson, Сох (1974)), что рассматриваемая модель (или модели) вкладывается в более общую модель и план для оценки добавочных параметров выбирается каким-то оптимальным образом. При этом нас интересует только оптимальный критерий для подмножества

более общей модели. Подробные комментарии к этой проблеме читатель найдет в работах Atkinson (1972) и St. John, Draper (1975) и в § 8.4. С этой задачей связана и задача различения двух конкурирующих моделей [Atkinson, Сох (1974), Фёдоров (1978, Fedorov, Malyutov (1972].

Упражнения к гл. 3

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление