Главная > Математика > Линейный регрессионный анализ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.1.4. Линейная одномерная регрессия

Пусть и мы хотим проверить гипотезу Тогда

Подставляя эти выражения в формулу после некоторых упрощений получаем

и

(В действительности выражения для можно найти и проще, дифференцируя ее по Наконец, используя пример 4.3 с находим выражение для -статистики искомого критерия:

где

Заметим, что из (4.17) вытекает

где

является квадратом выборочного коэффициента корреляции между их. Отношение также является мерой степени линейности связи между их, поскольку, согласно (4.19),

так что, чем больше значение тем меньше следовательно, тем лучше подобранная прямая соответствует наблюдениям.

Однако, в то время как величина является употребительной мерой согласия подобранной прямой данным наблюдений, использование самого выборочного коэффициента корреляции для статистических выводов представляется довольно сомнительным. Tukey (1954) принадлежит смелое, но не лишенное смысла утверждение о том, что "использование коэффициентов корреляции обоснованно в двух и только в двух случаях, а именно либо когда они являются коэффициентами регрессии, либо когда измерение одной или обеих переменных в каком-нибудь определенном масштабе является безнадежным делом". Первая часть этого утверждения относится к случаю, когда имеют совместное двумерное нормальное распределение. В соответствии с упр. 2 из упражнений имеем

и когда то Что касается его второй части, то можно указать одну из областей приложений, в которой коэффициенты корреляции используются широко, а использование детерминированных шкал измерений не представляется возможным, — это общественные науки. Шкалы измерений здесь часто совершенно произвольны, так что наблюдения, по существу, указывают только на принадлежность тому или иному классу. Полезное обсуждение вопроса о связи коэффициентов корреляции и регрессии имеется у Warren (1971).

Отметим, наконец, что -статистику (4.15) можно выразить через Именно, из соотношения (4.21) следует

так что

Обычная -статистика для проверки гипотезы выражается соответственно в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление