Главная > Математика > Линейный регрессионный анализ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.4. Критерий согласия

Предположим, что для каждого набора значений регрессоров в модели

производится несколько повторных наблюдений К, а именно

где . Мы подразумеваем здесь, что повторных наблюдений для набора действительно являются повторными наблюдениями, а не сводятся к повторениям измерений одного и того же значения полученного в одном эксперименте. Например, если выход материала, а —температура, то повторные наблюдения получаются путем действительного проведения экспериментов со значениями в каждом эксперименте, а не путем проведения единственного эксперимента с и -кратного измерения

величины выхода, достигнутого в этом эксперименте. Draper, Smith (1966) указали, что вторым методом можно получить информацию только о дисперсии показаний самого прибора, измеряющего выход, а эта дисперсия составляет лишь часть дисперсии В нашем определении включает в себя также составляющую, связанную с изменением выхода материала при заданной температуре от эксперимента к эксперименту. Как бы то ни было, при наличии действительных повторений эксперимента адекватность модели (4.34) можно проверить, используя -статистику, приведенную ниже.

Положим для краткости в Тогда, выражая все в векторной форме:

имеем где

Обозначим Тогда есть -матрица ранга

Мы предполагаем также, что Теперь проверка гипотезы (4.34) оказывается равносильной проверке гипотезы

или где X есть -матрица ранга Эту гипотезу можно выразить и в более привычной форме "уравнения линейных ограничений", используя следующую теорему.

Теорема 4.4. Включение имеет место тогда и только тогда, когда для некоторой -матрицы А ранга выполняется соотношение

Доказательство. Пусть Если т.е. некоторого то (теорема Обратно, если то Поэтому в том и только в том случае, когда . В силу теоремы 3.1 (ii), -матрица имеет ранг и потому в ней имеется линейно независимых строк, из которых можно образовать требуемую матрицу А.

Используя доказанную теорему, мы видим, что общая теория регрессии применима к рассматриваемой в этом параграфе

гипотезе только следует заменить при этом на соответственно. Поэтому

величина RSS находится непосредственной минимизацией суммы Беря производную по получаем

Чтобы найти минимизируем сумму Используя равенства , получаем

и

т. е.

Поскольку уравнения (4.38) и (4.39) суть обычные нормальные уравнения, если пренебречь заменой на то имеем

и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление