Главная > Математика > Линейный регрессионный анализ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.5.2. Гипотезы, допускающие проверку

Пусть где и матрица X имеет размер и ранг Предположим, что мы хотим проверить гипотезу где А — известная -матрица Поскольку матрица X теперь имеет неполный ранг, возникает новая проблема. Может оказаться, что гипотезу вообще нельзя проверить. Например, если строки матрицы А не зависят линейно от строк матрицы X (и, следовательно, то, согласно теореме 3.9 из § 3.8.1, для каждого существует некоторое удовлетворяющее уравнениям Такое определяется однозначно, если В последнем случае уравнения являются просто идентифицирующими ограничениями для определения так что значения вектора 0 не ограничиваются каким-либо подмножеством пространства 91 [X]. Поэтому, если обозначает строку матрицы А, мы можем игнорировать любое уравнение для которого не зависит лйнейно от

строк матрицы X, и наша допускающая проверку гипотеза описывается оставшимися уравнениями. Приходим к следующему определению.

Определение. Говорят, что гипотеза допускает проверку (testable), если строки матрицы к линейно выражаются через строки матрицы X, т. е. если существует такая -матрица для которой

Это определение применяется, когда строки матрицы А не являются линейно независимыми. Однако если -матрица А имеет ранг то и матрица должна иметь ранг (поскольку см.

Указанное определение применимо и к более общему случаю где и Чтобы показать это, сдвинем начало координат (как в разд. 3.9.2) и редуцируем модель и гипотезу к виду

Здесь где решение уравнения -Хро. Ясно, что исходная модель допускает проверку тогда и только тогда, когда проверку допускает преобразованная гипотеза.

Заметим, наконец, исходя из разд. 3.8.2, что гипотеза Я допускает проверку тогда и только тогда, когда каждая линейная комбинация оцениваема.

Теорема 4.6. Пусть гипотеза где А — матрица размера ранга допускает проверку, и пусть RSS и минимальные значения без указанных линейных ограничений и при наличии таковых соответственно. Тогда

(i) если гипотеза Я верна, то

(ii) , где - любое решение уравнения

Доказательство. (i) Приведем сначала модель и гипотезу к виду (4.41). При этом модель принимает вид где поскольку гипотеза Н обращается в На основании разд. 3.9.2 замечаем, что пространство имеет размерность Кроме того, поскольку то

При выполнении гипотезы справедливо равенство

в силу Искомый результат получаем теперь, вспоминая теорему 4.5.

(ii) Из соотношения (3.68) (разд. 3.9.2) вытекает

(см. поскольку

К приведенным результатам можно прийти и другим, правда, довольно унылым путем, опираясь только на свойства обобщенных обратных матриц (см. Часть (i) доказанной теоремы более важна в практическом отношении, поскольку RSS и часто можно получать простым дифференцированием или даже, как во многих ситуациях дисперсионного анализа из вида самих формул.

Упражнения 4е

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление