Главная > Математика > Линейный регрессионный анализ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.4. Средние и дисперсии квадратичных форм

Теорема 1.7. Пусть - случайный вектор размера симметричная -матрица. Если то

Доказательство. Прежде всего, Но а

Поэтому

Следствие 1. Полагая и замечая, что (см. пример 1.8), получаем

Следствие 2. Если то Таким образом, в этом случае имеем следующее простое правило:

Пример 1.11. Пусть взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждая из которых имеет среднее 0 и дисперсию Найдем математическое ожидание случайной величины

Решение. При сделанных предположениях так что Поэтому можно применить следствие 2, взяв Полагая в равным 0, мы тем самым обращаем в нуль второе слагаемое в выражении для Учитывая, что

получаем соотношение и окончательно

Пример 1.12. Пусть случайные величины имеют одинаковое среднее 0, а где

Покажем, что является несмещенной оценкой для

Решение. В этом случае где

И опять второе слагаемое в обращается в нуль, так что

Теорема 1.8. Пусть имеется независимых случайных величин со средними одинаковыми дисперсиями и одинаковыми третьими и четвертыми центральными моментами соответственно (т. е. Если А — симметричная матрица размера — вектор-столбец, образованный ее диагональными элементами, то

(Этот результат приведен без доказательства в работе

Доказательство. Заметим, что в векторно-матричной записи мы имеем здесь и что

Далее,

так что возведение в квадрат обеих частей дает

Полагая имеем и с использованием теоремы 1.7 (следствие 1) получаем

В качестве первого шага в преобразовании последнего выражения мы заметим, что

Так как случайные величины взаимно независимы и их начальные моменты до четвертого порядка включительно совпадают, то

Отсюда имеем

поскольку Далее,

и

так что

и

Объединяя полученные результаты, используя соотношение

и подставляя все это в соотношение (1.8), приходим к желаемому результату.

Следствие 1. Если случайные величины упомянутые в теореме, сверх того нормально распределены, то

Следствие 2. Если в условиях следствия то

Упражнения lb

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление