Главная > Математика > Линейный регрессионный анализ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.5.4. Критерий пересечения прямых в одной точке

(а) Случай известной абсциссы

Пусть мы хотим проверить гипотезу о том, что все К линий регрессии пересекаются в какой-то одной точке оси ординат т. е. Опять обозначим это общее значение параметров через Переходя к частным производным суммы по и

получим, что оценки наименьших квадратов параметров а и являются решениями уравнений

и

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

где Вычитая из первой строки матрицы в (7.45) все остальные строки, умноженные на такие множители, что все элементы первой строки, кроме первого, обращаются в нуль, получим соотношения

и

Наконец,

и -статистика для проверки гипотезы имеет вид

Ордината точки пересечения прямых (на оси ординат) оценивается величиной а.

Если в качестве х берутся одни и те же значения для всех К линий, так что то (7.46) принимает вид

После некоторых преобразований отсюда находим

Здесь — оценка наименьших квадратов углового коэффициента прямой, так что а можно рассматривать просто как свободный член уравнения "средней прямой регрессии" [Williams (1959, с. 139), Sprent (1969, с. 104)]. Можно показать, что в рассматриваемом случае

В силу некоррелированности и из (7.48) вытекает, что

и доверительный интервал для а можно получить, используя тот факт, что

где

Если проверяется гипотеза о том, что точка пересечения линий регрессии лежит на прямой то надо просто заменить в полученных выше результатах на При этом мы переносим начало координат из точки в точку Оценка ординаты точки пересечения остается той же: а.

(b) Абсцисса точки пересечения прямых не известна

Гипотеза о том, что все прямые пересекаются в некоторой точке с неизвестной абсциссой имеет вид

для Если исключить она принимает вид

Поскольку гипотеза уже не является линейной, то общую теорию регрессии использовать для построения критерия невозможно. Приближенный критерий для проверки этой гипотезы получил Saw (1966).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление