Главная > Математика > Теория матрицы плотности и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Предисловие редактора перевода

Метод матрицы плотности является основным рабочим методом квантовой статистической механики как равновесных, так и неравновесных состоянии. Такое применение матрицы плотности подробно опнсано в учебной литературе. Кроме того, метод матрицы плотности оказывается также очень эффективным при рассмотрении квантовомеханпческнх проблем, связанных с рассеянием частично поляризованных пучков, и в последние годы с успехом применяется в атомно-молекулярной спектроскопии. Эта сторона метода матрицы плотности еще недостаточно отражена в учебной литературе по квантовой механике. Такой пробел восполняет предлагаемый вниманию советских читателей перевод книги проф. К. Блума (университет Мюнстера, ФРГ). Книга дает достаточно полное представление об основных свойствах и некоторых важных приложениях метода матрицы плотности в актуальной области атомно-молекулярной спектроскопии. (Подробный обзор содержания дан в предисловии автора.)

Метод матрицы плотности, основанный на неполном описании квантовомеханпческнх систем, и понятие смешанного статистического ансамбля, или «смеси», относятся к достаточно тонким вопросам квантовой механики и тесно связаны с проблемой квантовомеханпческнх измерений. Автору удалось очень просто и физически прозрачно ввести понятие «смеси» и матрицы плотности, исходя из простых примеров поляризованных электронных и фотонных пучков и анализа соответствующих экспериментов. Удачно изложение методов разделения эффектов, связанных с симметрией и динамикой, с помощью матрицы плотности в представлении неприводимых тензоров. Хорошо изложена теория излучения поляризованных атомов и квантовых биений. В конце книги кратко рассматривается применение матрицы плотности к теории релаксации и реакции системы на внешние возмущения, которую можно описать с помощью функции Грина. Чтобы у читателя сложилось более полное представление о затронутых в книге вопросах, редактор русского издания счел необходимым дать примечание к гл. 2, разъясняющее смысл понятия энтропии

неравновесного состояния, и примечание к гл. 7, поясняющее применение функций Грина в статистической механике.

В настоящее время, когда все более усложняется математический аппарат теоретической физики, следует приветствовать появление книги Блума, где автору удалось дать простое изложение сложных вопросов. Читатель, проработавший эту книгу, будет достаточно хорошо подготовлен к изучению более специальных работ.

Книга рассчитана на студентов и аспирантов физических специальностей; она интересна также всем работающим в области атомно-молекулярной спектроскопии. Перевод предисловия и гл. 1—3 выполнил д-р физ.-мат. наук Ю. Г. Рудой, гл. 4—7 и приложений — канд. физ.-мат. наук М. Ю. Новиков.

Д. Н. Зубарев

Предисловие

В квантовой механике рассматриваются в основном те состояния физических систем, которые могут быть представлены с помощью векторов состояния. Однако во многих случаях интересующая нас система определена не полностью. Например, она может характеризоваться только некоторой вероятностью пребывания в точно определенном динамическом состоянии, описываемом вектором состояния. Именно благодаря такому неполному знанию о системе возникает необходимость в статистическом усреднении (в том же смысле, как и в классической физике).

Матрица плотности была введена Дж. фон Нейманом в 1927 г. для описания статистических концепций в квантовой механике. Основная ценность матрицы плотности состоит в том, что она обеспечивает возможность аналитического построения общих формул, а также доказательства общих теорем. Вычисление средних значений и вероятностей для физических величин без использования метода матрицы плотности чрезвычайно громоздко. Представление квантовомеханических состоянии с помощью матрицы плотности дает возможность избежать введения лишних переменных и наиболее экономным и компактным способом описать всю доступную информацию о системе. Преимущество использования метода матрицы плотности состоит еще и в том, что он позволяет единым образом описывать все квантовомеханические состояния, как полностью, так и неполностью определенные.

До недавних пор использование метода матрицы плотности было ограничено в основном областью статистической физики. В последние годы, однако, применение матрицы плотности начало играть все более важную роль во многих других областях физики. Например, в современной атомной физике

методы матрицы плотности стали важным инструментом для описания различных квантовомеханическнх интерференционных явлений, существенных для теории рассеяния, лазерной физики и спектроскопии, в частности квантовых биении и оптической накачки. Данная книга ставит своей целью ввести читателя в методы теории матрицы плотности, причем основное внимание уделяется ее применениям прежде всего в атомной и ядерной физике. Она предназначена для начинающих, а не для тех, кто хорошо знаком с предметом. Поэтому все основные понятия детально обсуждаются, а при вычислениях поясняется каждый этап. Предполагается, что читатель владеет квантовой механикой в объеме обычного годового курса, а также элементами статистической физики. Желательно также иметь некоторое представление о современной атомной физике и теории рассеяния. Для овладения материалом, изложенным в гл. 4—6, читателю следует обладать практическими навыками по теории углового момента. В остальном изложение начинается с низшего возможного уровня. Некоторые вопросы, актуальные в настоящее время, рассмотрены более детально с тем, чтобы книга была полезна также читателям, работающим в области атомной или ядерной физики, лазерной физики и физической химии.

Книгу можно разделить на три основные части. В первых трех главах вводятся основные понятия и методы теории матрицы плотности. С этой целью обсуждаются некоторые фундаментальные идеи квантовой механики и статистики. В частности, очень важно ясно понимать различие между чистым и смешанным квантовомеханнческими состояниями. Для этого лучше всего рассматривать простые физические системы. Поэтому в гл. 1 мы ограничиваемся обсуждением состояний поляризации частиц со спином 1/2 и фотонов, что оказывается достаточным для простого введения всех основных понятий. Матрица плотности впервые вводится по аналогии с функцией распределения классической статистической механики; иными словами, рассматривается, какое число систем находится в ансамбле с данной волновой функцией. Затем после обсуждения некоторых важных свойств матрицы плотности освещается еще один аспект этого понятия. Именно, показано, что при подходящей параметризации матрица плотности является наиболее удобным способом учета всех параметров, представляющих интерес в данной экспериментальной ситуации, а также описания их поведения с операциональной точки зрения.

В гл. 2 указанные результаты обобщаются на случай систем с более чем двумя степенями свободы, причем основные свойства матрицы плотности формулируются более систематически

Вводится понятие когерентности, играющее наиболее важную роль при обсуждении явлений квантовомеханической интерференции в последующих главах. Дается обзор свойств операторов временной эволюции и вывод основных уравнений движения статистических смесей; кроме того, приводятся некоторые примеры их применения.

В гл. 3 рассматривается еще один важный аспект матрицы плотности. Часто интерес представляют лишь немногие из большого числа степеней свободы квантовой системы, например когда наблюдается лишь одна из нескольких взаимодействующих систем. В разд. 3.1 и 3.2 показано, что в общем случае невозможно найти волновую функцию, зависящую только от переменных интересующей нас системы (и не зависящую от переменных всех остальных систем). Посредством усреднения по всем ненаблюдаемым степеням свободы получается матрица плотности, которая описывает поведение интересующей нас системы. Затем показано, что именно такая приведенная, или редуцированная, матрица плотности представляет собой наиболее общее описание открытой квантовомеханической системы. Следствия из общих результатов иллюстрируются в разд. 3.3 и 3.4, причем особое внимание уделяется квантовомеханической теории когерентности. Наконец, в разд. 3.5 строится и детально обсуждается приведенная матрица плотности системы атомов, возбужденных электронным ударом.

Вопросы, обсуждаемые в гл. 3, связаны с квантовомеханической теорией измерений; они привлекли большое внимание и интерес физиков в последние годы.

Вторая часть книги (гл. 4—6) посвящена применению метода неприводимых тензоров в теории матрицы плотности. Квантовомеханическпе вычисления для систем, обладающих симметрией, можно разделить на два этапа. На первом этапе получают максимум возможной информации, исходя из соображений симметрии. На втором этапе вычисляют динамические величины, для которых нельзя получить информации из чисто симметрийных рассуждений. Зачастую эти два этапа переплетаются. Метод неприводимых тензоров предназначен для разделения динамических и геометрических (кинематических) элементов и вычислений; он дает удобный и эффективный способ использования симметрии.

В разд. 4.2 и 4.3 обсуждаются основные свойства тензорных операторов и вводятся неприводимые компоненты матрицы плотности (мультипольные состояния, статистические тензоры). В разд. 4.4-4.6 приводятся различные применения метода, в разд. 4.7 обсуждается временная эволюция мультипольных состояний при наличии внешних возмущений.

Развитый формализм применяется затем в гл 5 и 6 к различным проблемам, представляющим интерес в современной атомной спектроскопии, в том числе к теории квантовых биений, электронно-фотонных угловых корреляций и деполяризации излучения атома, вызванной тонким и сверхтонким взаимодействиями и магнитными полями. На всем протяжении этих глав обсуждение явлений квантовомеханической интерференции в атомной физике основано на понятии о «коэффициентах возмущений», используемых в ядерной физике для описания возмущенных угловых корреляций. Такой формализм допускает очень экономное описание и интерпретацию экспериментов.

Последнюю главу книги можно читать независимо от гл. 4—6 (кроме некоторых частей разд. 7.5 и 7.6). В этой главе обсуждается подход к описанию необратимых процессов с помощью матрицы плотности, позволяющий связать обратимую и необратимую динамику посредством обобщенного основного кинетического уравнения. На протяжении всей гл. 7 используется марковское приближение. В разд. 7.1 путем рассмотрения взаимодействия между «малой» динамической системой и «большой» динамической системой («термостатом») введены основные понятия и получены основные уравнения. Необратимость появляется благодаря использованию предположения о том, что термостат остается в тепловом равновесии при постоянной температуре независимо от того, какое количество энергии и информации переходит в него из (малой) динамической системы. Частный случай основного кинетического уравнения Паули (Master equation) рассмотрен в разд. 7.2. Развитый формализм применяется затем к простым примерам из области радио- и микроволновой спектроскопии. Чтобы проиллюстрировать применение метода основного кинетического уравнения в квантовой электронике, рассмотрено взаимодействие электромагнитного поля с двухуровневыми атомами. Соответствующее основное кинетическое уравнение подробно обсуждается, причем описано влияние релаксационных взаимодействий на форму излучаемой линии. В разд. 7.4 получены уравнения Блоха и продемонстрировано их применение к явлениям магнитного резонанса. Показано, что метод матрицы плотности позволяет рассматривать наиболее естественным образом как продольную, так и поперечную релаксацию, избегая тем самым недостатков полуклассических теорий. Кратко обсуждается полезность применення уравнений Блоха к описанию взаимодействий между атомами или молекулами с полями, создаваемыми лазерами или мазерами.

Обсуждение общего формализма продолжается в разд. 7.5, где дается вывод общих свойств релаксационной матрицы. Обсуждение лиувиллевского формализма в разд. 7.6 ограничено лишь основными понятиями. Наконец, в разд. 7.7 рассматривается отклик квантовой системы на внешнее поле. Здесь при получении выражения в точном уравнении движения для матрицы плотности сделано приближение, в котором учтены лишь члены, линейные по напряженности внешнего поля. Такой метод тесно связан с теорией запаздывающих функций Грина и представляет интерес в связи с изучением явлений переноса.

Теория матрицы плотности и ее применения успешно рассматривались рядом авторов. Мы упомянем здесь, в частности, обзоры Фано (Fano, 1957) и тер Хаара (ter Haar, 1961). В ряде учебников по квантовой механике также рассмотрен соответствующий формализм (Messiah, 1965; Roman, 1965; Gottfried, 1966)1). Эти источники, а также многие другие (ссылки на них даны в соответствующих разделах) были использованы при написании этой книги. Ввиду ее вводного характера мы ссылаемся, как правило, лишь па монографии и обзоры, а также на те оригинальные статьи, результаты которых использованы в тексте.

Мое понимание теории и применений матрицы плотности в течение ряда лет совершенствовалось благодаря многочисленным обсуждениям с коллегами в университетах Стерлинга и Мюнстера. Я особенно благодарен проф. X. Клейнпоппену, который впервые привлек мое внимание к атомной физике, за его постоянную поддержку. Я благодарен проф. Дж. Кесслеру, который прочитал часть рукописи и дал полезные советы при просмотре первой и второй корректур. Д-р X. Якубович прочитал всю рукопись и внес ряд улучшений, а К. Бартшат проверил большинство уравнений. Кроме того, я благодарен г-же Куин и г-же Раффин за помощь в подготовке рукописи.

Карл Блум

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление