Главная > Математика > Теория матрицы плотности и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3 5. Возбуждение атомов электронным ударом I

3.5.1. Приведенная матрица плотности атомной системы

В настоящем разделе мы рассмотрим более подробно возбуждение атомов электронным ударом. Основное предположение, которое будет неявно подразумеваться на протяжении всего раздела, состоит в том, что в процессе столкновения

можно пренебречь всеми зависящими от спина силами. В частности, будем пренебрегать всеми явно зависящими от спина взаимодействиями между налетающей частицей и атомом, считать, что изменения спиновых переменных полностью обусловлены процессами электронного обмена. Кроме того, мы пренебрегаем тонким (и сверхтонким) взаимодействием внутри атома в процессе столкновения. Это можно обосновать физически следующим образом. В возбужденных состояниях атома орбитальный угловой момент и спин связаны под влиянием взаимодействия, обусловливающего тонкую структуру; оба этих вектора прецесспруют вокруг вектора полного углового момента атома. Прецессия имеет место в течение времени где обозначает величину тонкого расщепления соответствующего уровня. Если время столкновения значительно короче времени спин-орбитальной прецессии, то прецессия вектора спнна не успеет заметно сказаться за время столкновения; тогда векторы можно считать не связанными друг с другом во время столкновения. Состояние возбужденного атома непосредственно после столкновения может быть тогда адекватно оппсано в схеме -связп. Предположение означает, что атомы могут рассматриваться как возбуждаемые мгновенно (например, в момент времени по сравнению со значительно более длинным временем спин-орбитальной прецессии (см. также гл. 5, где дано более детальное обсуждение этого утверждения).

Наша основная задача здесь состоит в описании экспериментов, в которых рассеянные электроны (детектированные в направлении и фотоны, излученные при последующем распаде возбужденных атомных состояний, наблюдаются по схеме совпадений. Тогда, как указано в разд. 3.4.1, наблюдается только излучение, испущенное атомами, которые были возбуждены детектированными электронами. Таким образом, подансамбль атомов, так сказать, «отбирается» в эксперименте; в этом отборе и состоит сущность метода совпадений. В дальнейшей части этого раздела рассматривается именно состояние такого подансамбля.

Используя сформулнрованны выше предположения, описание эксперимента по методу совпадений можно разделить на три части. Прежде всего мы должны описать интересующий нас атомный подансамбль непосредственно после возбуждения, затем — эволюцию во времени возбужденных состоянии под влиянием тонкого (и сверхтонкого) взаимодействия и, наконец, дать описание фотонов, наблюдаемых в момент времени . В этом разделе проводится полное обсуждение эксперимента по методу совпадений, причем особое

внимание уделяется первой части приведенной выше программы.

Предполагается, что первоначально атомы находились в своем основном состоянии с орбитальным угловым моментом, равным нулю, и квантовыми числами где обозначают соответственно спин атома и его третью компоненту, а все остальные квантовые числа, необходимые для полного описания состояния. Начальное состояние электронов можно описать с помощью импульса и компоненты спина Предполагается также, что все атомы имеют одинаковые точные значения а все электроны — одинаковый импульс. Используем систему координат (так называемую систему столкновений), в которой ось параллельна , а плоскость является плоскостью рассеяния, натянутой на векторы

Обычно как атомы, так и электроны в начальных состояниях являются неполяризованными. Атомный оператор плотности дается тогда выражением (2.2.14)

а начальное состояние электронов характеризуется с помощью оператора плотности

то

Электроны и атомы не коррелированы, пока отсутствует взаимодействие между ними; поэтому матрица плотности объединенной системы факторизуется и может быть представлена прямым произведением

Опуская зависимость от фиксированных переменных представим элементы матрицы в виде

Матрица (3.5.2) является диагональной и имеет размерность в объединенном пространстве (спиновое пространство «натянуто» на базисных состояний

Используя иедположение о том, что возбужденные атомные состояния непосредственно после столкновения

можно описать в схсме -связи с помощью квантовых чисел где представляет собой z-компоненту орбитального углового момента Будет предполагаться, что происходит «отбор» только атомов в состояниях с точными значениями (экспериментально этого можно достичь, разрешая излученные фотоны спектроскопическими средствами). Указанное ограничение будет снято в гл. 4. В выполненных до сих пор экспериментах по методу совпадений не проводился анализ частиц в конечном состоянии по спину; поэтому мы ограничимся обсуждением приведенной матрицы плотности, характеризующей орбитальные состояния интересующего нас подансамбля атомов.

Для обсуждения экспериментов по рассеянию удобно изменить нормировку матрицы плотности. С этой целью запишем переход между состояниями

с помощью соответствующей амплитуды рассеяния , которая определяется как матричный элемент оператора перехода (подробности см. в приложении Д):

Величина нормируется в соответствии с условием

где дифференциальное сечение рассеяния для указанного перехода. Формулы, полученные в разд. 3.1 и 3.2, могут быть преобразованы к новой нормировке посредством подстановки вместо соответствующих амплитуд перехода (квадраты модулей которых дают вероятности переходов).

Обозначим конечные атомные состояния а конечные электронные состояния Матрица плотности определяется выражением (см. приложение Д):

Беря матричные элементы между конечными состояниями и дважды используя соотношение полноты для начальных состояний

получаем

При выводе (3.5.6) было использовано условие (3.5.2).

Если спины не подвергаются наблюдению, интересующая нас матрица плотности является приведенной матрицей описывающей только орбитальные состояния атомов. Используя формулу (3.2.3), можно найти элементы этой матрицы, если взять элементы матрицы диагональные по всем не подвергающимся наблюдению переменным (именно, и ), и просуммировать по этим переменным. Тогда получим

где обозначение указывает на то, что выполнено усреднение по спину.

Матрица (3.5.7) является -мерной и содержит всю информацию об орбитальных состояниях рассматриваемого нами возбужденного атомного подансамбля. При условии нормировки (3.5.5) диагональные элементы имеют вид

где обозначает дифференциальное сечение возбуждения магнитного подсостояния усредненное по всем спинам. След матрицы дает дифференциальное сечение просуммированное по всем М:

Например, явное выражение для в случае имеет вид

где использовано условие эрмитовости (2.2.5):

Формулы (3.5.7) и (3.5.9) показывают, что имеет неисчезающие недиагональные элементы, и потому рассматриваемый возбужденный атомный подансамбль является когерентной суперпозицией магнитных подсостояний.

Найдя угловое распределение и поляризацию излученных фотонов по схеме совпадений с рассеянными электронами, можно полностью определить матрицу плотности (3.5.9) (см. разд. 6.1). Это позволяет извлечь больше информации о процессах рассеяния, чем при традиционных экспериментах, в которых измеряется только дифференциальное сечение рассеяния . В частности, недиагональные элементы содержат информацию о фазах различных амплитуд рассеяния, соответствующих значениям причем эти фазы не могут быть определены без применения методики совпадений. Чтобы выяснить, сколько измерений следует провести в целях полного определения матрицы необходимо установить число независимых параметров, описывающих этому и посвящен следующий раздел.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление