Главная > Математика > Теория матрицы плотности и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.5.2. Ограничения, обусловленные требованиями симметрии

В дополнение к условию эрмитовости (3.5.10) число независимых параметров, описывающих ограничивается еще некоторыми условиями симметрии. Плоскость рассеяния -плоскость системы столкновений) определяется векторами однако ни одно из двух направлений, перпендикулярных этой плоскости, не задается какими-либо условиями геометрии эксперимента; точнее, изучаемый атомный подансамбль не «различает» направлений «вверх» или «вниз» по отношению к упомянутой плоскости. Следовательно, матрица плотности (3.5.7) должна быть инвариантна относительно отражения в плоскости рассеяния. Это условие симметрии выражается соотношением

для амплитуд рассеяния и

для матрицы плотности. Доказательство можно найти в учебниках по теории рассеяния (см., например, Rodberg, Thaler, 1967, и Burke, Joachain, 1982). Соотношение (3.5.11) дает, в частности,

В случае объединяя условия (3.5.11) с условием эрмитовости (3.5.10), получаем

Далее, элемент действителен:

Таким образом, в случае матрица плотности принимает вид

Она полностью определяется с помощью пяти действительных параметров, например а также действительной и мнимой частей элемента

Удобную параметризацию матрицы (3.5.13) предложили Хертель и Столл (Hertel, Stoll, 1978). В этой параметризации четыре параметра

совместно с дифференциальным сечением рассеяния (3.5.8) образуют набор из пяти независимых действительных параметров.

Число независимых параметров можно еще уменьшить, если явно принять во внимание сохранение спина. Поскольку мы пренебрегли всеми явно зависящими от спина слагаемыми в гамильтониане, описывающем столкновения, полный спин и его z-компонента сохраняются в процессе столкновений; следовательно,

В учебниках по теории рассеяния показывается, что зависимость амплитуд рассеяния от компонент спина может быть факторизована, например,

Здесь обозначает амплитуду рассеяния для возбуждения магнитного подсостояння в канале рассеяния с полным спином Заметим, что амплитуды не зависят от всех спиновых компонент; скобки в (3.5.16) обозначают обычные коэффициенты Клебша-Гордана ).

Подставляя выражение (3.5.16) в (3.5.7) и используя свойства ортонормпроваиности коэффициентов Клебша-Гордана, находим

Условие симметрии принимает вид

что можно показать, используя соотношение (3.5.16) и свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана и проводя некоторые алгебраические выкладки. С помощью (3.5.18а), используя также (3.5.17), можно получить дополнительное условие симметрии следующего вида:

В случае это условие дает

так что матрица плотности (3.5.13) полностью определена четырьмя параметрами

Еще меньшее число независимых параметров необходимо, если начальное и конечное состояния атомов являются бесспиновыми Тогда разрешен только один спиновый канал с полным спином и соотношение (3.5.17) принимает вид

В этом случае нет необходимости в каком-либо усреднении по спину, и полный спин можно опустить в обозначениях.

Факторизация (3.5.19) элементов матрицы плотности на два множителя, один из которых зависит только от а другой — только от типична для случаев, когда описывает чистое состояние. Действительно, в разд. 3.4.2 показано, что если то состояние изучаемого нами атомного под-ансамбля является чистым и описывается вектором состояния

который представляет собой полностью когерентную суперпозицию магнитных подсостояний. В этом случае все атомы, принадлежащие подансамблю, возбуждались строго одинаково.

Поскольку амплитуды удовлетворяют условию симметрии (3.5.18а) с и поскольку полная фаза состояния произвольна, состояние (3.5.20) полностью определено посредством параметров.

Для чистых состояний матрица плотности (3.5.13) должна удовлетворять условию (2.2.11). Применяя его к параметрам (3.5.14), получаем в случае

так что изучаемый подансамбль атомов может быть полностью описан посредством трех параметров где теперь относительная фаза амплитуд

Резюмируем содержание этого раздела. Были рассмотрены эксперименты, в которых в заданном направлении детектируются рассеянные электроны с импульсом причем анализ спинов начальных или конечных частиц не проводится. Была построена приведенная матрица плотности характеризующая орбитальные состояния атомного подансамбля, возбужденного детектируемыми электронами. Мы рассмотрели, в частности, в качестве примера случай показали, что этом случае описывается посредством

пяти независимых параметров в силу наличия условий эрмитовости и зеркальной симметрии в плоскости рассеяния. При использовании условия сохранения полного спина число параметров можно уменьшить до четырех. Тогда (н только тогда), когда атомы были возбуждены в тождественные состояния, достаточно трех параметров. В этом случае различие между «когерентностью» (в смысле недиагональностн матрицы и «полной когерентностью» становится существенным. Именно, в последнем случае для полпого определения необходимо меньше параметров (и, следовательно, меньше экспериментов).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление