Главная > Математика > Теория матрицы плотности и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.5. Свойства симметрии. Связь между симметрией и когерентностью

4.5.1. Аксиально-симметричные системы

4.5.1.1. Общие результаты

Возбуждение ансамбля частиц (атомов или ядер) может быть достигнуто различными способами: за счет взаимодействия с внешними полями, поглощения излучения, столкновевеиия с другими частицами и т. д. Предположим, что процесс возбуждения аксиально-симметричен относительно некоторой оси. Эта ось может задаваться, например, направлением внешнего поля. Если при возбуждении за счет соударения с электронами в эксперименте рассеянные электроны не регистрируются, ось симметрии определяется направлением падающего электронного пучка.

В этом разделе мы всегда будем принимать ось симметрии за ось нашей координатной системы (ось квантования). Выбор осей перпенднкулярных оси произволен, и поэтому физические свойства ансамбля не должны зависеть от этого выбора (частицы не могут «знать», как заданы оси . В частности, действительная и мнимая части мультнполей состояния представляют собой непосредственно измеримые величины (см. гл. 5) и потому должны иметь одни и те же числовые значения в системе и в любой системе полученной поворотом вокруг оси на произвольный угол у. Это приводит к следующему условию симметрии:

где определены соответственно в данной системе и в повернутой системе Соотношение (4.5.1) связывает две комплексные величины, поэтому их действительные и мнимые части должны быть равны.

С другой стороны, согласно закону преобразования (4.3.13), мультиполи связаны соотношением

где у — угол между осями Для элементов матрицы, определяющей поворот вокруг оси имеем выражение [см. ]

Подстановка (4.5.3) в (4.5.2) дает

Соотношение (4.5.4) представляет собой общий закон преобразования, справедливый для любого угла у. Кроме того, в силу аксиальной симметрии условие (4.5.1) также должно выполняться для любого угла у. Это возможно, только если Таким образом, аксиально-симметричные системы характеризуются мультипольными компонентами а все компоненты с с необходимостью равны нулю, ибо они нарушают условие (4.5.1). Следовательно, оператор плотности, характеризующий систему с аксиальной симметрией, имеет вид

Из (4.3.8) тогда следует, что матрица диагональна по Таким образом, мы приходим к следующему общему результату. Когда возбуждение ансамбля частиц вызывается процессом, аксиально-симметричным относительно выделенной оси, состояния с различными компонентами углового момента обязательно возбуждаются некогерентным образом (если ось квантования совпадает с осью симметрии). Для создания когерентной суперпозиции состояний с различными компонентами углового момента необходимо, чтобы процесс возбуждения не был аксиально-симметричным.

4.5.1.2. Обращение оси Z

В этом и следующем разделах мы рассмотрим состояния с определенным значением момента

Аксиально-симметричные системы можно классифицировать по свойствам относительно обращения оси симметрии: Обращение оси соответствует повороту на угол вокруг оси . Соответствующие элементы матрицы поворота даются выражениями и

Подставляя (4.5.6) в общее соотношение (4.3.14) и учитывая аксиальную симметрию, получаем

где определены относительно осей

Если данный ансамбль инвариантен по отношению к преобразованию т. е. значения измеримых величин не меняются при этом преобразовании, то должно выполняться условие

Соотношения (4.5.7) и (4.5.8) могут одновременно выполняться лишь для мультиполей четного ранга К. Таким образом, аксиально-симметричная система, инвариантная относительно обращения оси симметрии, характеризуется мультиполями четного ранга К, а все тензоры с нечетными К с необходимостью обращаются в нуль. В частности, вектор ориентации равен нулю. Следовательно, рассматриваемая система представляет собой частный случай выстроенной системы в соответствии с определением в разд. 4.3.3.

Посмотрим, какое требование налагает условие симметрии (4.5.8) на элементы матрицы плотности. Используя (4.3.6) и свойство симметрии -символа, получаем

так как только мультиполи с четным К дают вклад. Диагональные элементы матрицы пропорциональны заселенности состояния а постоянная пропорциональности определяется нормировкой. Таким образом, (4.5.9) показывает, что состояния заселены одинаково.

Полезно обсудить эти результаты с иной точки зрения, уделяя больше внимакня физике явления. В полуклассической картине с состоянием ассоциирован прецессирующий вокруг оси вектор длиной Z-компонента равна Длину вектора можно изменить, не меняя его направления в пространстве, таким образом, чтобы длина вектора стала пропорциональна числу частиц в соответствующем состоянии Исходя из этой модели, систему, удовлетворяющую условию (4.5.9), можно представить диаграммой, изображенной на рис. 4.2, где стрелки означают

векторы углового момента и имеют разрешенные направления в пространстве. Диаграмма аксиально-симметрична и инвариантна относительно операции длина векторов, имеющих противоположные направления, одинакова. В частности, диаграмма показывает, что суммарный момент выстроенной системы равен нулю.

Условие (4.5.9) выполняется тривиальным образом для атомных ансамблей, в которых все частицы находятся в одном состоянии Система такого рода представляет собой простой частный пример выстроенной системы без ориентации.

4.5.1.3 Ориентированные системы

Аксиально-симметричная система, не обладающая инвариантностью относительно обращения оси симметрии изображена на рис. 4.3. В этом случае длина векторов, имеющих противоположные направления, различна. Как видно из рисунка, система обладает отличной от нуля компонентой суммарного момента. Избыток векторов момента, имеющих одно и то же направление можно описать величиной или Это пример ориентированной системы.

Рис. 4.2. Выстроенная аксиально-симметричная система.

Ориентированные системы могут возникнуть, например, в процессе возбуждения атомов или ядер светом с круговой поляризацией, приводящем к различной заселенности состояний в силу правил отбора по угловому моменту.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление