Главная > Математика > Теория матрицы плотности и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Излучение поляризованных атомов. Квантовые биения

5.1. Общая теория I. Описание процессов радиационного распада с помощью матрицы плотности

В настоящей главе мы рассмотрим распад ансамбля возбужденных атомов за счет испускания фотонов. Будем обсуждать следующий случай. Предположим, что ансамбль атомов «мгновенно» возбужден в момент времени Как обычно, «мгновенно» означает, что время возбуждения меньше среднего времени жизни возбужденных состояний и любого характерного периода прецессии (см. разд. 3.5 и 4.7.1).

Механизм возбуждения может быть любым, и атомы могут быть возбуждены, например, с помощью электронного удара, за счет поглощения фотонов или при прохождении пучка через фольгу. Наша главная задача — вывести соотношения (5.2.6) и (5.2.7), которые будут использованы в следующих разделах. Читатели, не слишком интересующиеся математическими подробностями доказательств, могут перейти прямо к формулам (5.2.6) и (5.2.7).

Возбужденные атомы можно рассматривать как когерентную или некогерентную суперпозицию состояний где квантовые числа углового момента, означает совокупность всех остальных квантовых чисел, необходимых для описания состояния.

Предполагается, что атомы переходят на нижележащие уровни Далее мы будем считать фиксированными и опустим зависимость векторов состояния от этих квантовых чисел. Для дальнейшего упрощения будем пренебрегать конечным временем жизни конечного состояния.

Если использовать формализм спиральностен, то испущенные фотоны описываются векторами состояния где есть направление наблюдения. Выведем теперь выражение для поляризационной матрицы плотности испущенных фотонов. На первом этапе вычислений будем использовать в качестве оси квантования и все квантовые числа момента относить к этой оси. Такой выбор значительно упрощает вторую часть расчета, проводимого в следующем разделе. В конце вычислений мы преобразуем выражения к координатной системе. связанной с процессом возбуждения.

Непосредственно после возбуждения ансамбль возбужденных атомов можно описать матрицей плотности которая переходит согласно (2.4.15) в матрицу плотности

где оператор описывает временную эволюцию системы за счет взаимодействия с виртуальным полем излучения. (В этом разделе предполагается, что состояния атомов не возмущаются внутренними или внешними полями в период между возбуждением и распадом.) Матрица описывает полный ансамбль атомов и фотонов в момент времени т. е. атомы, еще остающиеся в возбужденных состояниях, атомы на низших уровнях и фотоны, испущенные в интервале времени от 0 до

Процесс распада (радиационного перехода) можно описать в первом порядке теории возмущений. В этом приближении оператор определенный соотношениями (2.4.35) и (2.4.31), имеет вид

где мы использовали (2.4.25). Элементы оператора V, описывающего взаимодействия между атомами и виртуальным полем излучения, будут определены ниже. Поскольку представляет собой оператор свободной эволюции, мы имеем

где учтена конечная ширина уровня начального состояния. Через обозначены энергии состояний с угловыми моментами соответственно, постоянная распада (затухания).

Нас интересуют элементы приведенной матрицы плотности которая описывает только поляризационное состояние испущенных фотонов. Нормировку выберем так же, как в (1.2.17); тогда диагональные элементы дают интенсивность фотонов с частотой и спиральностью К, детектированных в направлении .

Используя (3.2.3), запишем эти матричные элементы в виде

Подстановка выражений (5.1.1) для и (5.1.2) для дает

Члены, пропорциональные единичной матрице, не могут давать вклад в переход Используя (5.1.3), получаем

где

означают энергии и постоянные распада (затухания) состояний соответственно.

Матричные элементы оператора V в дипольном приближении в нерелятивистском пределе имеют вид (подробности см., например, Берестецкий и др., 1968)

где вектор поляризации оператор дипольного момента. Интегрирование по времени в

(5.1.5) легко выполняется:

Для получения численного множителя, стоящего перед всем выражением в правой части, мы положили поскольку расщепление верхних уровней намного меньше разности энергий верхних и нижних состояний. Наконец, умножим обе стороны (5.1.7) на плотность конечных состояний и проинтегрируем по форме линии. Так как основной вклад вносит область интеграл по можно распространить до , что дает пренебрежимо малую ошибку, и затем выполнить интегрирование в комплексной -плоскости, используя интегральную формулу Коши. Тогда имеем

элемент телесного угла, в который испускаются фотоны. В (5.1.8) для элементов полученной матрицы плотности введено обозначение Векторы поляризации можно исключить из выражения (5.1.8), если учесть, что в формализме спиральностей координатный базис состоит из трех единичных векторов и вектор диполя можно разложить по этому базису:

где компоненты вертора соответственно вдоль направлений Следовательно, являются сферическими компонентами вектора В таких координатах скалярное произведение запишется следующим образом:

Это приводит к следующему окончательному выражению для элементов поляризационной матрицы плотности фотонов, наблюдаемых в направлении

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление