Главная > Физика > Начала квантовой механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Часть II. ТЕОРИЯ ШРЕДИНГЕРА

Глава I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. ПРИМЕР ВИБРАТОРА

§ 1. Волновое уравнение и уравнения движения

Как мы знаем, волновое уравнение, дающее закон изменения функции во времени, должно иметь вид

где оператор энергии. Вид оператора энергии будет, вообще говоря, различным для различных задач. В теории Шредингера рассматривается тот случай, когда количество движения электрона мало по сравнению с величиной где с — скорость света, так что поправкой на теорию относительности можно пренебречь и когда магнитное поле отсутствует, так что электрон движется в электрическом поле с потенциальной энергией Обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля мы рассмотрим в третьей части этой книги.

В § 8 гл. III, ч. I мы написали, по аналогии с классической механикой, следующее выражение для оператора энергии:

Здесь первый член представляет кинетическую, а второй — потенциальную энергию электрона. Заменяя операторы их выражениями, мы можем написать волновое уравнение в виде

Рассмотрим уравнения движения, вытекающие из уравнения Шредингера. Найдем операторы для скорости и ускорения. Имеем, на основании (22) § 13 гл. III ч. I,

В выражении для все члены, кроме переместительны с х, поэтому

Но мы знаем, что

Поэтому

и аналогично

Таким образом, оператор для скорости равен деленному на оператору для количества движения, как и следовало ожидать. Найдем теперь оператор для производной Мы имеем

Единственный член в , не коммутирующий с есть так что

Присоединяя сюда аналогичные соотношения для двух других составляющих, получим

Уравнения (4) и (5) совпадают по форме с соответствующими уравнениями классической механики. Припоминая связь между уравнениями движения и законом изменения математических ожиданий, мы можем также написать

и два аналогичных уравнения для координат Эти уравнения носят название уравнений Эренфеста (Ehrenfest)!

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление