Главная > Физика > Начала квантовой механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Интегралы уравнений движения

Введем теперь понятие об интеграле квантовых уравнений движения. В классической механике интегралом уравнений движения принято называть такую механическую величину (функцию от координат и моментов), которая остается постоянной при любых начальных условиях. В квантовой механике можно определить интеграл уравнений движения как величину, математическое ожидание которой остается, в силу волнового уравнения, постоянным при любом начальном состоянии системы.

Для того чтобы оператор был интегралом, необходимо и достаточно, на основании (7) и (8) § 4 гл. IV ч. I, выполнение условия

Можно показать, что если оператор удовлетворяет этому условию, то его собственные функции, т. е. решения уравнения

могут быть выбраны так, чтобы они одновременно удовлетворяли волновому уравнению

причем это будет иметь место и тогда, когда оператор энергии содержит явно время. Отсюда следует, что если в начальный момент времени величина имела определенное значение X, то она будет иметь то же значение и в последующее время.

Если оператор не содержит явно времени, то условие (1) сводится к коммутативности его с оператором энергии.

Положим, например, что причем оператор не содержит явно времени. Мы уже знаем (§ 13 гл. III ч. I), что в таком случае имеет место закон сохранения энергии, т. е. что состояние с определенной энергией остается таковым во всякое время Уравнение (2) напишется в этом случае

где параметр, характеризующий величину энергии. Общее решение уравнений (3) и (4) будет иметь вид

Из решений вида (5) можно построить решение, удовлетворяющее произвольным начальным условиям

Для этого нужно разложить начальное значение функции в ряд по собственным функциям оператора энергии

и затем в каждом члене разложения добавить соответствующий показательный множитель

Выражение (8) и будет, очевидно, решением волнового уравнения, удовлетворяющим начальным условиям (6).

Знание интегралов квантовых уравнений движения облегчает решение волнового уравнения. Пусть оператор энергии не содержит явно времени, и, положим, мы нашли два оператора которые коммутируют с (и, следовательно, являются интегралами) и, сверх того, коммутируют между собой. Тогда уравнения

будут иметь общие собственные функции. Чтобы найти их, можно начать с решения наиболее простого из уравнений, и это решение подобрать так, чтобы оно удовлетворяло также и остальным двум уравнениям. Этот способ мы будем постоянно применять в дальнейшем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление