Главная > Физика > Начала квантовой механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Простые собственные значения

Обратимся теперь к нашей основной задаче: решению уравнения

причем рассмотрим тот случай, когда все собственные значения оператора простые.

Будем искать собственное значение и собственную функцию в виде рядов, расположенных по степеням малого параметра

Подставляя эти ряды в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим ряд равенств

Первое из этих уравнений удовлетворяется само собою, так как но предположению есть собственная функция для собственного значения Второе уравнение (46) представляет неоднороднее уравнение для определения Как мы знаем, для того чтобы оно имело решение, необходимо, чтобы свободный член был ортогонален к решению соответствующего однородного уравнения, т. е. к функции Пользуясь тем, что нормирована, мы можем записать это условие в виде

где

есть диагональный элемент матрицы для возмущающей энергии Таким образом, условие ортогональности позволило определить неизвестную постоянную Чтобы решить (46), разложим правую часть по функциям и

где

Решение уравнения (46) получится теперь по формулам предыдущего параграфа, а именно,

Члена вида мы не прибавляли, так как функция очевидно, ортогональна а следовательно, функция

представляющая приближенное решение возмущенной задачи, будет, с точностью до величин порядка нормированной.

Переходя к следующему уравнению (4в), мы должны будем прежде всего определить постоянную из условия, чтобы это уравнение имело решение. Это условие дает

Подставляя сюда вместо разложение (9), получаем, на основании теоремы замкнутости,

Далее мы могли бы получить и затем третье и следующие приближения. Вычисления ведутся по тому же способу, а именно, после того, как найдены

из условия существования решения уравнения номер определяется а затем и Формулы становятся все сложнее и сложнее: но обычно бывает достаточно брать выписанные здесь первое приближение для собственной функции и второе приближение для собственного значения. В тех случаях, когда т. е. поправка первого порядка к собственному значению, не равна нулю, можно — если не требуется особенной точности — ею и ограничиться.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление