Главная > Физика > Начала квантовой механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Первое и последующие приближения

Обратимся теперь к решению уравнения (7) в § 4. Правая часть его удовлетворяет, при нашем выборе условию, необходимому для существования решения. Разложение ее в ряд напишется

где мы воспользовались обозначением (15) § 5 и положили

Штрих у знака суммы в (1) означает, что следует опустить члены, для которых Решая уравнение (7) в § 4 по способу § 2, получим

Здесь последняя сумма представляет решение однородного уравнения. Постоянные в ней неизвестны и подлежат определению из второго приближения. Переходя теперь к рассмотрению уравнения (7в) § 4, мы должны прежде всего позаботиться о том, чтобы правая часть его была ортогональна ко всем решениям однородного уравнения. Это условие напишется

Подставляя сюда выражение (3) для и обозначая для краткости через сумму

можем уравнение (4) написать в виде

причем мы воспользовались равенствами (16) § 5. Для это равенство приводится к

Если все числа т. е. все корни определителя § 5, различны, то из (7) можно определить все с неравными значками, а именно,

Если же некоторые корни совпадают, например то соответствующее должно равняться нулю. Этому условию можно удовлетворить, выбрав надлежащим образом унитарную подстановку (14) § 5, которая оставалась произвольной. В самом деле, если заменить и их комбинациями и то величина заменится на

Это выражение должно равняться, согласно (6), т. е.

Отсюда, умножая на и суммируя по получаем

Мы пришли к уравнениям того же типа, как уравнения (1) § 5, и можем по изложенному в § 5 способу найти матрицу Может оказаться, что матрица по тем же причинам, как § 5, определяется неоднозначно; тогда для полного определения ее пришлось бы перейти к высшим приближениям.

Предположим теперь, что матрица найдена и что функции надлежащим образом «исправлены», т. е. заменены, в случае надобности, их линейными комбинациями. Тогда уравнение (7) для будет выполняться тождественно, так что соответствующее останется произвольным, а для величина определяется по формуле (8). Согласно уравнению (6) для величина также останется произвольной и может быть положена равной нулю; тогда функция будет, с точностью до величин порядка нормированной. Наконец, поправка второго порядка к энергии, т. е. величина будет равна

где под мы должны, конечно, разуметь «исправленное» которое мы обозначили через

В результате мы получим первое приближение для собственной функции и второе приближение для энергии. Таким же путем мы могли бы получить и высшие приближения, но ввиду сложности формул они не представляют практического интереса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление