Главная > Физика > Начала квантовой механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Ангармонический вибратор

В качестве примера применения теории возмущений рассмотрим ангармонический вибратор в одном измерении. Предположим, что единицы меры выбраны так, что уравнение для собственных функций оператора энергии имеет вид

где представляет поправочный член. Предложим себе найти первое приближение для собственной функции и второе приближение для собственного значения. Для невозмущенного уравнения

собственные значения и функции нам уже известны, а именно

Элементы матрицы для возмущающего оператора

получатся проще всего путем перемножения найденных в § 6 гл. I матриц для и для элементы которых равны

Мы будем иметь

Диагональный элемент матрицы равен нулю, как это, впрочем, видно и непосредственно из формулы (5). Следовательно, поправка к собственному значению в первом приближении исчезает. Приближенное значение собственной функции будет

где, согласно (9) § 3,

В нашем случае отличными от нуля будут только четыре члена этой суммы, а именно,

Подставляя сюда выражение (8) для элементов матрицы, получим окончательно

Нам остается вычислить по формуле (12) § 3 поправку для энергии во втором приближении. Мы будем иметь

Следовательно, приближенное значение энергии будет

Таким образом, поставленная нами задача решена.

Положим, что в операторе энергии имеется кроме еще один поправочный член вида 814, так что уравнение для собственных функций напишется

Если здесь 6 будет порядка то первое приближение для собственных функций не изменится, а к выражению (13) для собственного значения прибавится диагональный элемент матрицы для Вычислим этот добавочный член. Мы имеем

так что

Прибавляя (15) к (13), получим для собственного значения выражение

В частном случае, когда выражение (16) отличается от только постоянным членом

В заключение заметим, что добавка к потенциальной энергии гармонического вибратора членов вида или меняет характер собственных функций оператора энергии. Поэтому мы имеем здесь дело с упомянутым в § 1 случаем, когда формальное применение теории возмущений приводит к расходящимся рядам и дает не «вполне», а лишь «почти» стационарные состояния. Формальный характер решения проявляется и в том, что при больших значениях поправка к уровню энергии в формуле (16) перестает быть малой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление