Главная > Физика > Начала квантовой механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Интегралы площадей

Волновое уравнение Шредингера для электрона в поле с потенциальной энергией имеет вид

где оператор энергии равен

Положим, что потенциальная энергия зависит только от расстояния от ядра атома, которое мы будем считать неподвижным и лежащим в начале координат

Волновое уравнение напишется

или, если мы выразим через производные, то

где А есть оператор Лапласа.

В классической механике в случае центрального поля имел место закон площадей: составляющие момента количества движения вокруг начала координат

были интегралами уравнений движения. Посмотрим, не будут ли эти величины интегралами и в квантовой механике, если мы будем разуметь под ними операторы, рассмотренные нами в § 7 гл. III, ч. I. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что они переместительны с оператором энергии. Для доказательства переместительности их с оператором кинетической энергии мы могли бы воспользоваться выражениями для скобок Пуассона, выведенными в § 7 гл. III ч. I; но проще доказать это непосредственно.

Мы имеем

и, следовательно,

Переместительность с потенциальной энергией доказывается аналогично, а именно,

так как если , то

Следовательно, переместителен как с оператором Лапласа, так и с потенциальной энергией, а значит и со всем оператором энергии. Ввиду симметрии относительно координат то же справедливо для и ту. Таким образом,

т. е. составляющие момента количества движения суть интегралы квантовых уравнений движения.

Но эти операторы не переместительны между собой; в самом деле, мы знаем, что имеют место соотношения

Отсюда следует, как мы знаем, что величины ту, не могут иметь одновременно определенных значений (за исключением значения нуль). Покажем, что оператор

который мы можем толковать как квадрат момента количества движения, коммутирует с каждым из операторов Мы имеем

Складывая эти равенства, получим

Ввиду симметрии относительно х, у, z можем написать три равенства

которые означают физически, что квадрат момента количества движения может иметь определенное значение одновременно с одной из его составляющих.

С другой стороны, так как каждый из операторов ту, коммутирует с оператором энергии, то и сумма их квадратов обладает этим свойством. Следовательно, оператор будет интегралом уравнений движения:

Кроме того, интегралом является самый оператор энергии Я. Таким образом, мы имеем три оператора которые коммутируют между собой и являются интегралами квантовых уравнений движения. Из общей теории следует, что функцию, удовлетворяющую волновому уравнению (1), можно выбрать так, чтобы она была одновременно собственной функцией всех трех операторов и удовлетворяла уравнениям

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление