Главная > Физика > Начала квантовой механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Решение одной вспомогательной задачи

На основании результатов общего исследования уравнения для радиальных функций (§ 7 гл. IV), мы знаем, что отрицательным значениям параметра соответствует точечный, а положительным — сплошной спектр. Для исследования точечного спектра мы введем в качестве независимой переменной величину

и положим

Величина X будет, очевидно, вещественной; мы будем считать ее положительной. Переменная х будет также вещественной, и пределы ее изменения будут те же, что для а именно, Уравнение (10) § 2 напишется теперь

или

В левой части этого уравнения стоит самосопряженный оператор, а X играет роль параметра. Подстановкой (1) и (2) мы как бы исключили сплошной спектр и привели решение уравнения (10) для точечного спектра к решению некоторой вспомогательной задачи, а именно, к нахождению собственных значений и функций оператора (3.

Исследуем характер решения уравнения (3) при малых и при больших значениях х. Мы могли бы воспользоваться здесь результатами § 7 гл. IV, но проще повторить наши рассуждения применительно к уравнению (3).

Для малых х полагаем

и получаем для а два значения

Для больших х полагаем

и получаем для два значения

и

Отсюда заключаем, что искомое решение должно быть при малых х вида

и при больших вида

Поэтому, если мы положим

то функция должна удовлетворять условиям конечна при

Уравнение (3) для у приводит к следующему уравнению для

Это уравнение можно решить двумя способами: при помощи рядов и при помощи определенных интегралов. Мы применим здесь первый способ, а аналогичное уравнение для сплошного спектра будем решать по второму способу.

Будем искать решения уравнения (12) в виде ряда

Подставляя этот ряд в уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получим ряд равенств вида

которые служат для последовательного определения коэффициентов.

Коэффициент остается произвольным, а остальные выражаются через него:

Поэтому, если мы обозначим через обобщенный гипергеометрический ряд, составленный по закону

мы можем написать

Здесь возможны два случая. Если

то коэффициент и все последующие будут равны нулю, так что ряд обрывается и для получается не бесконечный ряд, а полином. Если условие (18) не соблюдается, то ряд продолжается до бесконечности, причем он будет всегда сходящимся, так как отношение двух последовательных членов

при -уоо стремится к нулю при всяком х. Но из той же формулы (19) видно, что все члены ряда, начиная с некоторого, будут одного знака; следовательно, его сумма, при будет возрастать быстрее всякой конечной степени х, так что условие (11) не будет выполняться. Поэтому второй случай отпадает, и мы должны иметь

Таким образом, единственными решениями уравнения (12), удовлетворяющими поставленным условиям, являются полиномы

или в раскрытом виде

Если мы положим здесь

то соответствующие функции которые мы обозначим через будут полиномами не только относительно х, но и относительно

или

Эти полиномы можно назвать обобщенными полиномами Лагерра (Laguerre), обыкновенные полиномы Лагерра представляют их частный случай (при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление