Главная > Физика > Начала квантовой механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Произведение операторов. Правило умножения матриц

Произведением двух операторов называется оператор, состоящий в последовательном применении операторов Если сперва применяется оператор а затем К, произведение их записывается в виде

Если же сперва применяется К, а затем то произведение их будет

Очевидно, что операторы вообще говоря, будут различны, так что произведение операторов зависит от порядка множителей.

Положим, например, что К есть оператор умножения на оператор дифференцирования по х

В этом случае будем иметь

тогда как

Мы видим, что в нашем примере причем

так что разность в нашем случае есть оператор умножения на единицу

Может случиться, что произведение операторов не зависит от порядка множителей. В таком случае говорят, что операторы обладают свойством переместительности или коммутативно» или, короче, — что они коммутируют друг с другом. В качестве примера коммутативных операторов можно указать операторы дифференцирования по двум независимым переменным. Найдем оператор, сопряженный к произведению

Мы имеем

Положим

Тогда предыдущее выражение будет равно

по определению оператора Положим далее

Тогда

по определению Подставляя вместо его выражение, получим окончательно

Сравнивая это равенство с определением сопряженного

оператора

получим

или

Таким образом, оператор, сопряженный к произведению, равен произведению сопряженных операторов, взятых в обратном порядке.

Если операторы самосопряженные, то их произведение, вообще говоря, не будет самосопряженным, так что

Если же самосопряженные операторы переместительны, то и произведение их будет самосопряженным.

Рассмотрим произведение двух операторов, имеющих ядра . Имеем

Выполняя сперва интегрирование по и вводя обозначение

можем предыдущую формулу написать в виде

Таким образом, произведение операторов имеет ядро, определяемое формулой (9).

Рассмотрим теперь произведение двух операторов, действующих над функцией от прерывной переменной и могущих быть представленными в виде матриц. Мы имеем

Если мы положим

то получим

или

где

Эта формула дает правило умножения матриц. Элементы строки номер матрицы К (стоящей слева) множатся на элементы столбца номер матрицы (стоящей справа).

Рассмотрим матрицу с элементами удовлетворяющими условиям

где, согласно принятому нами обозначению (3) § 3,

Пользуясь правилом умножения матриц, мы можем записать предыдущие равенства в виде

где под единицей следует разуметь единичную матрицу. Матрица, удовлетворяющая условиям (17), называется унитарной матрицей, а соответствующий оператор — унитарным оператором.

Унитарный оператор обладает следующим свойством. Положим

или

и составим сумму

Пользуясь свойством (15), будем иметь

Таким образом, унитарный оператор оставляет сумму (19) инвариантной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление