Главная > Физика > Начала квантовой механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Шаровые функции со спином

Если писать двухкомпонентную волновую функцию в виде столбца

то уравнение (28) предыдущего параграфа напишется в виде двух одинаковых уравнений

а уравнение (29) приведется к системе уравнений

Положим, чтобы удовлетворить также и уравнениям (2),

Тогда функции и должны будут удовлетворять системе уравнений

а условие нормировки для них будет

Эти функции можно выразить через обыкновенные шаровые функции изученные нами в §§ 4—6 гл. IV ч. II, посвященной теории Шредингера. Напомним некоторые их свойства. Функция

удовлетворяет уравнению

и представляет то его решение, которое остается конечным при При приводится к полиному Лежандра

а при будет равно

При отрицательных значениях функции выражаются через функции с положительным по формуле

Рассматриваемые как функции от угла функции удовлетворяют системе уравнений первого порядка

[уравнения (18) и (19) § 5 гл.

К этой системе уравнений приводятся уравнения (5) для функций

Переход от (5) к (12) можно совершить, произведя сперва преобразование

аналогичное переходу от даваемому формулами (18) и (21) предыдущего параграфа (величины в формуле (13) мы считаем вещественными). Уравнения для будут

Эти уравнения совпадут с уравнениями (12) для обыкновенных шаровых функций, если мы положим

или

и будем считать, согласно формуле (20) § 1, что

В качестве мы можем взять то из чисел

которое не отрицательно. Это можно записать так:

Приравнивая выражения (15) и (16) и используя формулу (11), мы получаем для отношения постоянных с и с выражение

Значения этих постоянных определяются из условия нормировки (6), которое может быть написано в виде

Мы получим

Если мы введем шаровые функции по формуле (7) § 6 гл. IV ч. II

нормированные согласно условию

то мы будем иметь

где корни квадратные нужно брать с положительным знаком. Принимая во внимание соотношение (18) между мы можем написать эти формулы в виде

Из этих формул видно, что функции с отрицательным значком выражаются через функции с положительным значком следующим образом:

Выпишем наши шаровые функции для нескольких значений

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление