Главная > Физика > Начала квантовой механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Волновое уравнение Паули

В классической нерелятивистской механике функция Лагранжа для частицы с зарядом и массой находящейся в электромагнитном поле с векторным потенциалом

и скалярным потенциалом имеет вид

Обобщенные «моменты», сопряженные с координатами

не совпадают с составляющими количества движения

а связаны с ними соотношениями

Энергия частицы равна

Выразив энергию через обобщенные моменты, мы получим классическую функцию Гамильтона

При отсутствии магнитного поля можно положить векторный потенциал равным нулю и предыдущее выражение приводится к виду

или

где

есть потенциальная энергия частицы.

Как мы знаем, в теории Шредингера оператор энергии получается из классической Гамильтоновой функции заменой обобщенных моментов операторами

Введение новой степени свободы, связанной со спином, позволяет построить оператор

и использовать его при построении оператора энергии.

Можно показать, что оператор антикоммутирует с рассмотренным в § 1 оператором

[формула (15) § 1], так что мы имеем

При доказательстве используются свойства (6) § 1 матриц а также соотношения

Вычислений мы здесь приводить не будем, заметим только, что вычисления значительно упрощаются, если проводить их не в декартовых, а в сферических координатах. Это будет сделано в следующем параграфе.

Если считать, как это делается в теории Шредингера, что электрон обладает лишь теми степенями свободы, которые соответствуют движению материальной точки в пространстве координат х, у, z, то, вводя операторы в формулу (8), мы однозначно приходим к уже изученному нами Шредингеровскому выражению для оператора энергии. Введение же новой степени свободы электрона, связанной со спином, дает новые возможности для перехода от величин классической механики к квантовым операторам.

Используя свойства матриц и коммутативность операторов мы можем написать оператор энергии (8) в виде

так что введение оператора определяемого формулой (11), здесь ничего не вносит. Иначе обстоит дело при наличии магнитного поля, когда классическая функция Гамильтона имеет вид (6) и обобщенные моменты, канонически сопряженные с координатами, не совпадают с составляющими количества движения, а связаны с ними соотношениями (4), которые мы перепишем в виде

Если мы будем рассматривать эти величины как операторы, то они уже не будут коммутативны, а будут удовлетворять

перестановочным соотношениям

где составляющие магнитного поля. Поэтому при наличии магнитного поля переход от операторов к операторам дает различный результат в зависимости от того, произведен ли он в уравнении (8) или в уравнении (15). Если перейти от в уравнении (8), мы вернемся к выражению (6), которое обозначим теперь через так что

Если же сделать этот переход в уравнении (15) и использовать соотношения (6) § 1 для матриц и перестановочные соотношения (17) этого параграфа для операторов количества движения, то мы получим оператор

где мы положили для краткости

Постоянную можно рассматривать как величину магнитного момента электрона.

Оператор энергии (19) представляет обобщение соответствующего оператора теории Шредингера на случай наличия магнитного поля (без поправки на теорию относительности). Мы будем называть его оператором Паули, а волновое уравнение

— волновым уравнением Паули.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление