Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 98. Линеаризация уравнения Калоджеро

Найти приближенное решение дифференциального уравнения Калоджеро (97.4) в предположении, что

Решение. В правой части уравнения Калоджеро

или

последний член при малых можно отбросить. Таким образом, приближенное решение должно удовлетворять линейному уравнению вида

Сравнивая уравнение (98.2) с уравнением для второго борновского приближения

которое легко получается из (97.6), мы находим, что второе борцовское приближение несколько хуже, чем приближение (98.2). В правой части уравнения (98.2) вместо функции фигурирует сама функция что эквивалентно включению в уравнение первого члена из третьего борновского приближения (97.6в). Таким образом, линеаризация сразу же приводит к решению, которое в качественном отношении занимает промежуточное положение между вторым и третьим борцовскими приближениями.

Решение уравнения (98.2), удовлетворяющее граничному условию

находится стандартным методом и имеет вид

Разлагая здесь экспоненту по степеням мы можем вернуться ко второму борцовскому приближению. Следует подчеркнуть, что приближение (98.4) значительно лучше борновского, так как даже при очень малых значениях [или же при очень больших значениях как в случае сингулярных потенциалов], когда формулы борновских приближений теряют смысл, мы все еще имеем вполне определенное решение по крайней мере для потенциалов, соответствующих силам отталкивания.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление