Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 100. Второе приближение к уравнению Калоджеро

Связать процедуру линеаризации уравнения Калоджеро с методом последовательных приближений и на этой основе вычислить во втором приближении длину рассеяния потенциала, рассмотренного в предыдущей задаче.

Решение. Если точное уравнение

заменить цепочкой уравнений

то в первом приближении мы снова получим линейное уравнение

решенное нами в задаче 98. Каждое последующее приближение получается из предыдущего путем решения линейного уравнения в квадратурах, только в разных случаях приходится иметь дело

с различными неоднородностями:

Таким образом, чтобы найти второе приближение, нам достаточно в подынтегральное выражение для линеаризованного решения ввести дополнительный множитель

Что же касается длины рассеяния, то здесь можно добиться еще больших упрощений. Введем "интерполированную" длину рассеяния определив ее соотношением

В первом приближении имеем

Отсюда для длины рассеяния во втором приближении получаем

Соотношения (100.7) и (100.8) теперь можно использовать для вычисления длины рассеяния потенциала

рассмотренного в предыдущей задаче. Вводя обозначения

получаем

Последнее выражение после замены

принимает вид

Подставляя его теперь в формулу (100.8), получаем

Если в фигурных скобках оставить только первый член, то это, разумеется, даст нам формулу первого приближения (99.11). Что касается поправки

то для нее из (100.13) легко получается выражение вида

Этот интеграл сходится, и его в общем случае можно вычислить численным интегрированием.

Имеются два случая, а именно когда оценка интеграла особенно проста. Если или имеем

или

Численное интегрирование по методу Симпсона и использование в области вместо функции ошибок ее асимптотического выражения приводят к значению Как мы видели (см. стр. 272), в первом приближении

когда поэтому во втором приближении получаем

Таким образом, ошибка, составляющая в первом приближении 11,4%, теперь будет равна 4,6%.

В случае или сходимость метода несколько хуже. Выражение (100.15) в этом случае дает

и так как

то

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление