Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 105. Борновскоерассеяние. Последовательные приближения.

Решить задачу о потенциальном рассеянии, рассматривая рассеивающий потенциал в качестве малого возмущения. Разобрать более подробно случай центральных сил.

Решение. Запишем уравнение Шредингера в виде

где

Функция Грина, соответствующая оператору, стоящему в левой части уравнения (105.1), имеет вид

Рассматривая формально правую часть уравнения (105.1) в качестве неоднородности, мы можем применить к нему стандартный метод решения неоднородных дифференциальных уравнений. Таким образом, имеем

где решение однородного уравнения. Равенство (105.4) представляет собой интегральное уравнение для функции и

Нетрудно убедиться, что интегральный член в (105.4) асимптотически, при больших описывает расходящуюся сферическую волну. Действительно, с ростом потенциал достаточно быстро убывает, что практически делает область интегрирования конечной, поэтому в выражении для функции Грина (105.3) мы можем считать, что следовательно,

где в означает угол между векторами В задачах рассеяния в качестве решения однородного уравнения следует брать плоскую волну, описывающую пучок падающих частиц. Пользуясь стандартной нормировкой, запишем ее в виде

Решение уравнения (105.4) можно получить методом последовательных приближений:

Другими словами, его можно записать в виде ряда Неймана:

Последний представляет собой ряд по степеням "константы взаимодействия" Для нахождения приближения необходимо вычислять -кратный интеграл, что делает расчет всех членов, кроме первого, весьма громоздким.

Формула первого борновского приближения заметно упрощается в том случае, когда потенциал зависит только от модуля вектора В этом случае асимптотическое поведение функции согласно формулам (105.7), (105.6) и (105.5), будет описываться равенством

Введем вектор совпадающий по направлению с вектором и такой, что Тогда

и интеграл (105.8) принимает вид

Фиг. 56. Волновые векторы и угол рассеяния.

Вектор

представляет собой импульс (в единицах ), переданный частице, рассеянной в направлении вектора Обозначив посредством угол рассеяния, т. е. угол между векторами мы можем написать (фиг. 56)

Выполняя в выражении (105.9) интегрирование по углам, получаем

так что формула первого приближения (105.8) окончательно приобретает вид

где

Амплитуда рассеяния простым образом связана с дифференциальным сечением рассеяния:

Формулой (105.14) для амплитуды рассеяния, разумеется, нельзя пользоваться, если интеграл расходится на верхнем или на нижнем пределе. Следовательно, в окрестности точки

потенциал должен расходиться не сильнее, чем . С другой стороны, при больших он должен убывать быстрее кулоновского потенциала, т. е. по крайней мере как

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление