Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 113. Преобразование Зоммерфельда — Ватсона

Пусть амплитуда рассеяния

записана в виде контурного интеграла в плоскости комплексной Переменной I в предположении, что каждый член суммы (113.1)

есть вычет подынтегрального выражения в точке с целочисленным значением Считая, что -мероморфная функция переменной I, представить этот интеграл в виде суммы полюсных членов и интеграла, взятого по прямой, параллельной мнимой оси и проходящей через точку

Решение. Целесообразно переменную заменить комплексной переменной

Тогда формулу (113.1) можно заменить равенством

где контур интегрирования С показан на фиг. 60. Действительно, функция

имеет простые полюсы во всех целочисленных точках l = 0, ±1, ±2, ... (т. е. в точках и ее вычеты в них равны Если остальные сомножители подынтегрального выражения (113.3) регулярны на положительной действительной полуоси, то интеграл по контуру С можно заменить суммой интегралов, каждый из которых берется в направлении часовой стрелки (множитель по малой окружности с центром в одном из упомянутых полюсов. Таким образом, имеем

С учетом четности полиномов Лежандра:

выражение (113.4) в точности переходит в формулу (113.1).

Фиг. 60. Контур интегрирования в комплексной плоскости переменной

Деформируем теперь контур интегрирования в комплексной плоскости X таким образом, чтобы он проходил по мнимой оси и замыкался бесконечной полуокружностью, лежащей в правой полуплоскости. Последняя не будет давать вклад в интеграл, если подынтегральная функция убывает на ней по крайней мере как что и предполагается всюду в дальнейшем. В результате у нас остается вклад от интеграла по мнимой оси и вклад от всех полюсов, которые расположены в правой полуплоскости и которые наш контур пересекал в процессе деформации. Пусть

эти полюсы располагаются в точках и пусть вычеты функции равны в них тогда вклад полюсных членов в амплитуду рассеяния будет иметь вид

Что касается интегрального члена, то с помощью замены переменной

где у — действительная величина, его можно записать следующим образом:

Мы видим, что амплитуда рассеяния действительно разбивается на две существенно различные части:

Замечание. Полюсы амплитуды рассеяния в плоскости комплексной переменной I называют полюсами Редже, а линии, по которым они перемещаются в этой плоскости при изменении энергии, - траекториями Редже. Важность полюсов Редже обусловлена тем, что они дают в наше распоряжение альтернативную возможность описать взаимодействие между сталкивающимися частицами, которое обычно описывается с помощью потенциала. Если положение полюсов и вычеты в них амплитуды рассеяния известны, то рассеяние можно описать с помощью этих параметров. Этот метод, по-видимому, должен быть особенно удобен в физике элементарных частиц, так как экспериментальные данные свидетельствуют о наличии резко выраженных резонансных состояний (промежуточные частицы или резононы). Конечно, там приходится иметь дело с очень высокими энергиями, и вся теория должна быть сформулирована релятивистским образом. Что касается нерелятивистской теории, то ее можио использовать в ядерной физике для описания компаунд-ядра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление