Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 118. Гармонический осциллятор в приближении ВКБ

Найти энергетические у ровни гармонического осциллятора, применив к волновым функциям ВКБ граничные условия Лангера.

Решение. В случае осцилляторного потенциала

значению энергии

где - классическая скорость частицы при соответствуют классические точки поворота

Отсюда следует, что

Волновая функция, найденная методом ВКБ и удовлетворяющая граничному условию Лангера в точке поворота должна иметь вид

Подставляя сюда вместо функции ее выражение (118.4) и учитывая, что

получаем

Теперь мы должны потребовать, чтобы это решение удовлетворяло граничному условию Лангера в другой точке поворота Таким образом, оно должно быть либо четной, либо нечетной функцией переменной х. Вводя обозначения

где функция очевидно, нечетная получаем

Таким образом, если

то решение и будет четной функцией; если же

то и будет нечетной функцией. Оба ограничения на фазу можно объединить в одной формуле, полагая

Отсюда, согласно соотношению (118.7), получаем

Отрицательные значения можно исключить из рассмотрения, так как они не удовлетворяют условию

выполнение которого необходимо для применимости приближения ВКБ.

Чтобы составить представление о качестве приближения ВКБ для волновых функций, интересно сравнить расположение нулей функций ВКБ и точных решений найденных в задаче 30. Соответствующие данные приведены в нижеследующей таблице:

(см. скан)

Задача 119. Уровни ВКБ в однородном поле

Пользуясь методом ВКБ, получить энергетические уровни стационарных состояний в гравитационном поле

над отражающей поверхностью Результаты сравнить с точным решением, найденным в задаче 40.

Решение. Здесь имеются две классические точки поворота Условие Лангера для левой точки поворота дает

где

и после элементарного интегрирования получаем

С другой стороны, условие Лангера должно выполняться и в точке Если ввести переменную то она снова будет левой точкой поворота, поэтому

или

Так как равенство (119.1) в общем случае можно записать в виде

то аргументы косинусов в формулах (119.4а) и (119.46) могут отличаться лишь на целое, кратное

или

Такова общая формула, определяющая уровни энергии в приближении ВКБ. Применительно к частице в нашем гравитационном поле получаем

Выразив здесь величину через энергию и положив окончательно найдем

Эта формула согласуется с асимптотикой (40.14) точного решения.

Замечание. Формулу (119.5) нетрудно применить к гармоническому осциллятору, рассмотренному в задаче 118. В этом случае

что сразу же приводит к формуле для уровней

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление