Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 126. Плотность тока в присутствии магнитного поля

Вывести формулу для плотности тока в случае уравнения Шредингера с векторным потенциалом. Доказать, что плотность тока калибровочно инвариантна.

Решение. В задаче 1 был получен закон сохранения вероятности. При выводе этого закона мы исходили из уравнения Шредингера и уравнения, комплексно сопряженного с уравнением Шредингера, и строили с их помощью уравнение непрерывности. В этой задаче мы поступим аналогичным образом и начнем с уравнений

и

Умножая уравнения и (126.16) соответственно на и вычитая их одно из другого, получаем

Так как далее

и

то левую часть этого уравнения можно представить в виде дивергенции некоторого вектора. Таким образом, сохраняя прежнее определение плотности вероятности

мы приходим к уравнению непрерывности

в котором плотность тока вероятности имеет вид

Последняя формула является обобщением формулы (1.6), выведенной ранее для случая

Выполняя калибровочное преобразование, рассмотренное в предыдущей задаче,

находим

и

Отсюда следует, что плотность тока вероятности (126.4) калибровочно инвариантна. Очевидно, что определяемая равенством (126.2) плотность вероятности также калибровочно инвариантна, следовательно, этим же свойством обладает и сам закон сохранения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление