Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 127. Нормальный эффект Зеемана

На электрон, помещенный в центральное поле, дополнительно воздействует однородное магнитное поле Определить стационарные состояния электрона. Спин электрона не учитывать.

Решение. В пренебрежении релятивистскими эффектами дифференциальное уравнение для стационарных состояний электрона с зарядом имеет вид

причем выше мы воспользовались калибровкой и опустили член, пропорциональный В случае однородного поля направленного вдоль оси мы можем удовлетворить условию калибровки, положив

при

и уравнение (127.1) можно записать в виде

Заметим, что член, содержащий магнитное поле, можно переписать несколько по-иному:

где оператор момента количества движения, z-компонента

которого равна

Согласно максвелловской теории электромагнетизма, движущаяся частица с зарядом и моментом количества движения порождает магнитное поле, обусловленное дипольным магнитным моментом

поэтому величину (127.5) можно записать в виде Последнее выражение представляет собой, на самом деле, хорошо известную потенциальную энергию диполя в магнитном поле

Решение дифференциального уравнения (127.4) можно искать в виде

тогда член, содержащий магнитное поле, даст а уравнение вклад

и вместо (127.4) теперь можно написать

Это уравнение по форме совпадает с дифференциальным уравнением для случая Отсюда следует, что под действием магнитного поля энергетические уровни расщепляются:

Здесь через обозначены собственные значения для случая Учитывая, что и принимая во внимание равенство (127.6), последнее соотношение можно преобразовать к виду

что и следовало ожидать исходя из классических соображений.

Характерный магнитный момент называют магнетоном Бора, а квантовое число - магнитным, квантовым числом. В рассматриваемом случае система собственных состояний та же самая, что и при но магнитное поле уничтожает пространственное вырождение энергетических уровней.

Замечание. Формулу (127.9), определяющую уровни энергии, можно получить, рассматривая оператор магнитной энергии (127.5)

в качестве возмущения. В первом порядке теории возмущений сдвиг уровней определяется диагональным матричным элементом оператора вычисленным по невозмущенным собственным функциям:

Совпадение приближенного результата с точной формулой (127.9) объясняется тем, что волновые функции нулевого приближения в интеграле (127.12) совпадают с точными решениями уравнения (127.4). В связи с вопросом о правилах отбора см. задачу 216.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление