Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 14. Волновые функции в импульсном представлении

Фурье-образ волновой функции характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии Требуется вывести интегральное уравнение для с фурье-образом потенциала в качестве ядра.

Решение. Между функциями имеются два взаимно обратных соотношения

Положим далее

тогда для фурье-образа потенциала будем иметь

Предполагается, что волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

Подставляя сюда вместо и V соответственно выражения (14.1) и (14.3), получаем

В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной к интегрированию по переменной а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством Интеграл по обращается в нуль при любом значении лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда

Это и есть искомое интегральное уравнение с фурье-образом потенциала в качестве ядра.

Конечно, интегральное уравнение (14.6) можно получить только при условии, что фурье-образ потенциала (14.4) существует; для этого, например, потенциал должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как где Необходимо отметить, что из условия нормировки

следует равенство

Это можно показать, подставив в (14.7) выражение (14.1) для функции

Если здесь сначала выполнить интегрирование по то мы без труда получим соотношение (14.8).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление