Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 17. Волновой пакет в случае свободного движения

Построить волновой пакет и исследовать его временную эволюцию.

Решение. Мы начнем с частного решения волнового уравнения, записав его в ранее найденном виде (16.11):

а произвольная постоянная амплитуда. Здесь -все еще свободный параметр, так что общее решение волнового уравнения записывается в виде любого сходящегося интеграла по выражения (17.1):

Равенство (17.3) описывает одномерный волновой пакет наиболее общего вида. Чтобы интеграл сходился, амплитуда должна стремиться к нулю при по крайней мере как Всякая выбранная подходящим образом амплитуда приводит к решению определенного вида.

Теперь построим волновой пакет таким образом, чтобы в начальный момент времени вероятность обнаружить описываемую им частицу заметно отличалась от нуля лишь внутри малой окрестности точки и чтобы частица двигалась с импульсом

Этого можно добиться, положив

Действительно, в этом случае плотность

отвечает частице, локализованной в области а поток (16.10)

поэтому величина есть скорость частицы, импульс пакета. Так как волновая функция описывает одну частицу, то имеет место условие нормировки

т. е.

Выражение (17.4) можно разложить по плоским волнам, используя соотношения (17.3) и (17.1):

Но этот интеграл есть интеграл Фурье, обращая который, получаем

Вычисляя последний интеграл с помощью хорошо известной формулы

окончательно находим

Этот результат легко понять, привлекая на помощь соотношение неопределенности Гейзенберга. В начальном состоянии неопределенность координаты частицы, согласно выражению (17.4), имеет порядок С другой стороны, как показывает выражение (17.8), основной вклад в волновую функцию дает та часть спектра

волновых чисел импульсов которая лежит в полосе шириной вблизи Следовательно, независимо от выбора величины а имеет место соотношение

но это и есть соотношение неопределенности Гейзенберга.

Определив амплитуду по начальному состоянию при мы можем теперь перейти к вычислению общего интеграла (17.3) для любого момента времени:

Здесь в экспоненте стоит квадратичная форма так что этот интеграл снова можно привести к интегралу ошибок (17.7). Результат имеет вид

В этом довольно сложном выражении нетрудно разобраться, снова рассмотрев плотность и поток но теперь уже для любого момента времени Плотность в этом случае равна

Как функция координаты она все еще имеет форму колоколообразной кривой, однако максимум ее теперь сдвинут из точки в точку Следовательно, максимум "цуга волн", описываемого выражением (17.10), перемещается со скоростью (групповая скорость равна скорости частицы). В то же самое время знаменатель в экспоненте (17.11) показывает, что ширина волнового пакета увеличилась от значения а при до значения

при Этот эффект легко объяснить, исходя из вида спектральной функции (17.8). Так как спектр волновых чисел имеет ширину то скорости отдельных волн разбросаны в области шириной поэтому пакет расплывется на величину что и было найдено выше.

Выражение для потока получается из (17.10) с помощью соотношения

Непосредственное вычисление после сравнения с формулой (17.11) дает

Отсюда видно, что для произвольных времен мы отнюдь не имеем как это было при что опять-таки является следствием конечной ширины спектра скоростей. Для максимума пакета и равенство (17.12) приводит к элементарному соотношению . С другой стороны, для мы имеем и это вполне разумно, так как к моменту времени до точки доходят лишь те части волнового пакета, скорость которых меньше (больше)

В заключение следует упомянуть, что условие нормировки выполняется для всех времен, это является выражением закона сохранения вещества.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление