Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 22. Рассеяние на симметричном потенциальном барьере

Поток частиц с энергией падает на потенциальный барьер ограниченный областью Предполагается, что потенциал представляет собой четную функцию

Требуется выразить амплитуды рассеяния вперед и назад через логарифмические производные волновой функции в точках

Решение. Из условия симметрии (22.1) вытекает важное следствие: при любом значении энергии уравнение Шредингера имеет как четное решение

так и нечетное решение

Эти решения, разумеется, линейно независимы, поэтому общее решение можно записать в виде их произвольной линейной комбинации. В интервале частные решения и в крайнем случае можно определить с помощью численных методов, положив в точке

и

Конечно, при этом нормировка базисных решений оказывается довольно произвольной. Таким образом, мы можем вычислить

их логарифмические производные в точке которые для удобства запишем в безразмерном и не зависящем от их относительной нормировки виде

Логарифмические производные в точке в силу соотношений (22.2) будут равны

Решение, отвечающее падающей слева волне с единичной амплитудой, имеет вид

Требование непрерывности в точках дает четыре условия:

Складывая равенства (22.5а) и (22.5в) и вычитая из равенства (22.56) равенство , получаем справа соответственно Взяв теперь их отношение, находим

Аналогичная процедура, но с переменой знаков дает

Разрешая уравнения (22.6а) и (22.6б) относительно и полагая для простоты

окончательно получаем следующие выражения для амплитуд:

На основании уравнения непрерывности, следует ожидать, что сумма интенсивностей отраженной и прошедшей волн будет равна интенсивности падающей волны. Действительно, из соотношений (22.8а) и (22.8б) следуют формулы

так что ожидаемое равенство

очевидно, выполняется.

Таким образом, проблема нахождения амплитуд рассеяния вперед и назад свелась к отысканию логарифмических производных (22.3) четной и нечетной волновых функций в точке Разумеется, эту последнюю задачу нельзя решить, пока потенциал (22.1) не задан в явном виде.

В противоположность результату задачи 21 равенство теперь уже не имеет места. Если

то преобладает рассеяние вперед, в противном случае — рассеяние назад.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление