Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 28. Периодический потенциал

Получить общие соотношения для волновых функций и энергетического спектра в случае периодического потенциала.

Решение. Если периодическая функция с периодом а, то уравнение Шредингера инвариантно по отношению ко всем трансляциям, кратным а:

Обозначим через два линейно независимых решения уравнения Шредингера, тогда функции их также должны быть решениями этого уравнения. Так как любое решение можно представить в виде линейной комбинации то это должно быть справедливо и в отношении решений

Теперь можно доказать (теорема Флоке), что среди этих решений имеются два, скажем и таких, что

где множитель — постоянная. В этом случае, очевидно,

Искомое доказательство выглядит следующим образом:

и, согласно (28.2),

Последнее же выражение равно если

Система (28.5) двух однородных линейных уравнений относительно имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда обращается в нуль детерминант:

Это — квадратное относительно уравнение, двум корням которого, и соответствуют две функции,

Из формулы (28.3) можно усмотреть, что определитель Вронского

удовлетворяет соотношению

По теореме Грина определитель Вронского не зависит от х, отсюда следует, что

О параметрах можно получить более подробные сведения, рассмотрев равенство (28.3а). Пусть тогда амплитуда волновой функции будет неограниченно возрастать при и неограниченно убывать при Противоположный случай имеет место, если Такие решения не нормируемы даже в том смысле, который мы вкладываем в это понятие в случае плоских волн, поэтому физически значимые решения существуют лишь при т. е. когда

а К — действительная величина. Так как то можно ограничиться теми значениями К, которые лежат в интервале

что даст нам полный набор всех допустимых волновых функций. Таким образом, для всех ограниченных решений имеем

Последнее возможно лишь в том случае, если

а периодическая функция, т. е.

Этот результат составляет содержание теоремы Блоха.

Обратимся теперь к вопросу об энергетическом спектре. В интервале Олга построим решение из двух каких-либо решений так же, как это сделано в (28.4). Для соседнего интервала периодичности в соответствии с формулой (28.10) получаем

причем значения аргумента попадают в предыдущий интервал. На границе этих интервалов, в точке должны совпадать как сами выражения (28.4) и (28.13), так и их производные:

Эта однородная относительно система уравнений разрешима в том и только в том случае, если обращается в нуль детерминант:

Раскрывая детерминант, окончательно приходим к соотношению

Здесь в знаменателе стоит вронскиан, взятый для любого значения аргумента (так как вронскиан есть константа, то нет необходимости указывать его конкретное значение).

Уравнение (28.15) представляет собой условие существования собственных значений. Оно разрешимо только в том случае, если абсолютная величина правой части не превышает единицы, тогда с помощью этого уравнения можно вычислить величину К. Имеются целые интервалы значений энергии, удовлетворяющие указанному условию, и чередующиеся с ними интервалы значений энергии, для которых это условие не выполняется. Таким образом, энергетический спектр состоит не из отдельных уровней, а представляет собой чередующиеся последовательности разрешенных и запрещенных энергетических зон. Границы энергетических зон определяются согласно (28.15) из соотношения

Замечание. Так как функции можно заменить любой другой парой линейно независимых решений то уравнение (28.15) с таким же

успехом можно записать через функции Оно, однако, должно приводить к тем же самым энергетическим зонам. В этом нетрудно убедиться, подставив выражения

в уравнение (28.15). Несложные выкладки показывают, что при использовании функций получается в точности то же самое выражение, что и при использовании функций и, если детерминант не обращается в нуль.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление