Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 33. Гармонический осциллятор в матричном представлении

Получить матрицы для импульса и координаты х гармонического осциллятора, определяемого гамильтонианом

в представлении, где оператор диагонален. Чему равны соответствующие собственные значения?

Решение. Отправной точкой для нас послужит диагональность гамильтониана

где — собственные значения. Кроме того, у нас имеются (см. задачу 8) соотношения

которые в матричных обозначениях с учетом равенств можно записать следующим образом:

С помощью формулы (33.2) они легко приводятся к виду

Эта система однородных уравнений относительно будет совместной, если исчезают оба матричных элемента или

если ее определитель равен нулю; в последнем случае

Упорядочив собственные значения в соответствии с неравенствами

мы получаем, что разность двух последовательных собственных значений равна Тип и что

где постоянная, общая для всех собственных значений. Но тогда единственными, не равными нулю матричными элементами будут элементы которые в силу (33.4) должны удовлетворять соотношению

Теперь попытаемся получить более подробную информацию о нашем гамильтониане. Начнем с матриц Согласно соотношению (33.7), имеем

где только при левая часть не обращается в нуль. Аналогичное соотношение имеет место и для матричных элементов Подставляя их в формулу (33.2), для недиагональных элементов гамильтониана получаем

То же самое справедливо и для матричных элементов что полностью согласуется с фактом диагональности оператора послужившим основой вывода уравнений (33.4). Что касается диагональных матричных элементов, то они имеют вид

Согласно соотношению (33.7), слагаемые в правой части равны между собой, поэтому

Равенства (33.8) и (33.6) устанавливают соотношение между матричными элементами оператора х. Учет эрмитовости оператора х дает еще одно соотношение

Таким образом, получаем

Вводя обозначение

последнее уравнение можно записать в виде

Решением этого функционального уравнения является функция

в чем нетрудно убедиться, представив в виде ряда по степеням Из соотношения (33.11) далее следует

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы определить постоянную Правая часть равенства (33.10) не может быть отрицательной, следовательно, не отрицательно и собственное значение, стоящее в левой части этого равенства. Предположим, что есть наименьшее значение тогда матричный элемент

должен обратиться в нуль. Не будь этого, равенство (33.10) можно было бы использовать в качестве рекуррентного соотношения для вычисления матричных элементов вплоть до что противоречило бы неравенству Приравняв нулю матричный элемент (33.14), находим искомую постоянную

а тем самым и собственные значения (83.6),

так же, как и матричные элементы х, которые, согласно (33.9) и (33.13), равны

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление