Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 35. Ангармонический осциллятор

Оценить энергетические уровни ангармонического осциллятора

в первом и втором порядке теории возмущений.

Решение. В первом порядке теории возмущений сдвиг уровней гармонического осциллятора с энергией

и нормированными собственными функциями

определяется диагональными матричными элементами энергии возмущения:

Так как четная функция х, то член не дает вклада в первую поправку Таким образом, первая поправка равна

и ее можно вычислить тем же приемом, что и нормировочный интеграл: заменить один из полиномов Эрмита в подынтегральном выражении, согласно формуле

и произвести -кратное интегрирование по частям. В результате получим

Многочлен степени, который требуется продифференцировать раз, начинается с членов

поэтому

Учитывая значения хорошо известных интегралов

окончательно приходим к выражению

Результат первого порядка теории возмущений можно качественно пояснить следующим образом. Малая добавка к потенциалу вызывает небольшую асимметрию параболы но еще не меняет для низко лежащих уровней ее ширины. Следовательно, движение осциллирующей массы происходит в области таких же размеров, что и в случае гармонического осциллятора, поэтому нет причин, которые вызывали бы изменение энергии.

Добавочный же член при симметричным образом поднимает (опускает) обе ветви параболы, тем самым уменьшая (увеличивая) ширину параболы и размеры области движения даже для самых малых энергий, поэтому все энергетические уровни смещаются вверх (вниз) в согласии со знаком правой части формулы (35.8).

Во втором порядке теории возмущений к энергиям (35.2) и (35.8) мы должны добавить поправку

Для осциллятора отличны от нуля только следующие недиагональные матричные элементы [они вычисляются тем же методом, который использовался при вычислении поправки (35.8)]:

и

С учетом значений этих матричных элементов общая формула

Если теперь ввести обозначения

то выражение для энергии с точностью до членов второго порядка включительно принимает вид

Значения коэффициентов для четырех низших уровней приведены в таблице:

(см. скан)

Следовательно, положение последних теперь нетрудно рассчитать. Для возмущения оно показано на фиг. 20 в зависимости от безразмерного параметра Так как в данном случае эффект первого порядка отсутствует, то кривые, характеризующие положение уровней, представляют собой параболы с вершинами на прямой Отрицательный знак возмущения обусловлен тем, что описывающая потенциал парабола уширяется в области более высоких значений где пренебречь этим эффектом уже нельзя. Роль эффекта уширения все более возрастает по мере продвижения в область высоких энергий, где даже второй порядок теории возмущений становится все менее надежным. В точке у потенциальной энергии имеется максимум поэтому для энергий дискретные уровни перестают существовать: эффект, который нашим приближением не учитывается

Приведенные кривые в целом показывают, что чем выше энергия уровня, тем меньше значения параметра характеризующего возмущение, для которых используемое приближение дает надежные результаты. Это же подтверждает и фиг. 21, где

пунктирные и сплошные линии относятся соответственно к поправкам первого и второго порядков. Разумеется, на результаты второго приближения совершенно нельзя полагаться там, где соответствующие поправки, достигнув максимума, начинают убывать.

Фиг. 20. Энергетические уровни ангармонического осциллятора с асимметричным возмущением. Вклады отвозмущения возникают только во втором приближении. Линия грубо характеризует область применимости использованного приближения.

Фиг. 21. Энергетические уровни ангармонического осциллятора с симметричным возмущением. Пунктирные линии соответствуют одному первому приближению, сплошные лниии построены с учетом второго приближения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление