Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 3. Классическая механика для пространственных средних

Показать, что основное уравнение классической ньютоновской динамики

где р — импульс, - сила, действующая на частицу, для пространственных средних (математических ожиданий) имеет место и в квантовой механике.

Решение. Пусть сила выражена через потенциал, импульс заменен оператором Интересующие нас средние определяются равенствами

Наша задача — показать, что интегралы (3.2) и (3.3) удовлетворяют уравнению (3.1), если функции удовлетворяют уравнениям Шредингера

Доказательство мы начнем с того, что продифференцируем равенство (3.2) по времени:

Выше мы учли, что вклад от поверхностного интеграла, появляющегося при интегрировании по частям второго слагаемого, равен нулю и его можно опустить. Избавляясь здесь от с помощью уравнений (3.4), получаем

Интегрирование по частям

показывает, что оба слагаемых в первом интеграле из (3.5) взаимно сокращаются. Применяя далее интегрирование по частям к последнему из оставшихся в (3.5) слагаемому, получаем

Воспользовавшись в заключение формулой

приходим к уравнению

в справедливости которого требовалось убедиться.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление