Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Б. Задачи с двумя или тремя степенями свободы без сферической симметрии

Задача 42. Круговой осциллятор

Исследовать движение точечной частицы в двумерном потенциальном поле

Решить задачу в прямоугольных декартовых и полярных координатах с

Полученные результаты сравнить. Решение

а. В прямоугольных декартовых координатах уравнение Шредингера допускает разделение переменных:

причем каждый из сомножителей удовлетворяет уравнению для одномерного осциллятора (см. задачу 30):

где

Таким образом, для собственных значений имеем

или

а соответствующие волновые функции имеют вид

где посредством обозначены одномерные осцилляторные функции, определяемые выражением (30.10) с нормировочными постоянными (30.11). Энергетические уровни в данном случае вырождены, потому что сумму

входящую в выражение для энергии, можно составить из двух целых чисел различными способами, и, следовательно, общее решение имеет вид линейной комбинации

где

б. В полярных координатах потенциал зависит только от и здесь также допустимо раздение переменных:

Это приводит к дифференциальному уравнению

первая скобка в левой части которого получилась из лапласиана. После подстановки

для функции получается дифференциальное уравнение

которое с помощью замены независимой переменной на

преобразуется в уравнение Куммера

Решением этого уравнения, регулярным при является вырожденный гипергеометрический ряд

где

При больших значениях этот ряд расходится как что делает нормировку решения невозможной. Только в том случае, если

вырожденный гипергеометрический ряд обрывается, превращаясь в полином, и волновую функцию можно нормировать. В таком случае имеем

и

Так же, как и в случае равенства (42.4), можно положить

и снова подсчитать кратность вырождения, для которой получается то же самое значение, что и выше.

в. Сравнение результатов. Каждое решение (42.10), с одной стороны, есть собственная функция оператора проекции момента на ось, перпендикулярную плоскости движения,

принадлежащая собственному значению

С другой стороны, за исключением основного состояния, отдельные сомножители в волновой функции, полученные разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах, не являются собственными функциями оператора момента. Однако можно найти такие значения постоянных в формуле (42.5), чтобы получающаяся линейная комбинация вырожденных функций сводилась к выражению вида (42.10). Ниже приведено несколько примеров, относящихся к первым трем низшим состояниям; в правильности соответствующих формул можно убедиться непосредственной проверкой.

(основное состояние, невырожденное);

(дважды вырожденные состояния);

(трижды вырожденные состояния);

Замечание. Полученные здесь результаты следует сравнить с результатами задач 65 и 66, где рассмотрен трехмерный изотропный осциллятор.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление