Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

В. Момент количества движения

Задача 47. Бесконечно малые вращения

Показать, что результат преобразования скалярной функции при бесконечно малом вращении системы координат простым образом выражается через операторы момента количества движения.

Решение. Пусть поворот системы координат описывается формулами

где — трехрядные матрицы, причем

Фигурирующие здесь бесконечно малые величины представляют собой углы поворота относительно трех осей Заметим, что обратное преобразование можно получить, либо изменяя знак всех трех величин либо переходя к транспонированной матрице А. Следовательно,

В результате преобразования (47.1а) — (47.1в) функция перейдет в функцию от новых координат. Эту функцию можно выразить через старые координаты воспользовавшись разложением в ряд Тейлора:

где в (47.2) все члены, содержащие более высокие производные, отброшены. Как следует из формулы (47.16),

поэтому равенство (47.2) можно записать в виде

Собирая здесь члены с одинаковыми и вводя операторы момента количества движения

получаем

где через обозначен вектор с компонентами Так как последний член в выражении (47.5) есть величина бесконечно малая, то здесь мы можем пренебречь различием между поэтому выражению (47.5) можно придать иную форму:

До сих пор мы не пользовались тем, что функция является скаляром, т. е. инвариантна по отношению к вращениям:

Последнее равенство позволяет все величины, входящие в соотношение (47.6), выразить через старые координаты так что

окончательно оно принимает вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление