Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 49. Момент количества движения и оператор Лапласа

Записать оператор в сферических координатах. Полученное выражение сравнить с оператором Лапласа и с оператором кинетической энергии.

Решение. Используя операторы определенные формулами (48.10а) и (48.106), можно написать

Произведение равно

Учитывая перестановочное соотношение

позволяющее исключить экспоненту, и принимая во внимание, что

приходим к выражению

Аналогичным образом можно найти и оператор от только что найденного соответствующее выражение отличается знаком последнего члена. Таким образом, формула (49.1) теперь дает

или

В этой последней записи выражение, стоящее в квадратных скобках, совпадает с выражением для угловой части оператора Лапласа, поэтому можно написать

Как известно из классической механики, кинетическую энергию частицы можно представить в виде

Так как ей соответствует квантовомеханический оператор то равенство (49.4) приводит к соотношению

которое показывает, что оператор с точностью до множителя совпадает с радиальной частью оператора Лапласа. Оператор же, соответствующий классическому радиальному импульсу теперь получается из выражения (49.5) путем факторизации:

В самом деле, последнее выражение, будучи применено дважды, дает правую часть равенства (49.5). Можно показать, что оператор эрмитов (см. задачу 59) и что он и координата удовлетворяют каноническим перестановочным соотношениям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление