Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 50. Преобразования в гильбертовом пространстве

Показать, что любой квантовомеханический оператор при бесконечно малом повороте преобразуется в соответствии с формулой

где унитарный оператор имеет вид

Пользуясь этим преобразованием, найти коммутаторы

Решение. На основании соотношения (47.8) мы знаем, что всякие скалярные волновые функции и преобразуются при поворотах по закону где оператор определяется равенством (50.2). Всякая измеримая величине (т. е. всякий матричный элемент, получаемый из оператора должна быть инвариантна по отношению к выбору системы координат,

поэтому

Заменяя здесь и получаем

Сравнивая последнее выражение с правой частью равенства (50.3), находим искомый закон преобразования (50.1).

Подставляя в равенство (50.1) выражение (50.2) и учитывая, что рассматриваемое преобразование является бесконечно малым, получаем

где означает, как обычно, квантовую скобку Пуассона:

Если теперь в качестве оператора взять прямоугольные координаты х, у, z, то, с одной стороны, должны выполняться соотношения

а с другой стороны, как мы знаем, в соответствии с формулой (47.3) должно быть

Сравнивая соотношения (50.6) и (50.7), находим

Компоненты всякого вектора преобразуются по формулам, имеющим такую же структуру, как и формулы (50.7), отсюда с необходимостью следует, что и перестановочные соотношения с компонентами оператора момента количества движения должны иметь тот же самый вид, например,

Поскольку момент количества движения сам является вектором, то вышеприведенные соображения относятся и к его собственным компонентам, поэтому

Скалярный же оператор при вращениях не изменяется, и, следовательно, в силу соотношения (50.5) он коммутирует с компонентами оператора момента количества движения. В частности, поэтому

и аналогично

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление