Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 59. Радиальная компонента оператора импульса

Получить оператор, канонически сопряженный координате Каков явный вид этого оператора в координатном представлении?

Решение. В классической механике импульс сопряженный радиусу определяется как проекция вектора на направление радиус-вектора

В квантовой механике это определение из-за некоммутативности компонент становится двусмысленным: классическому выражению (59.1) априори могла бы соответствовать любая линейная комбинация вида

Оператор должен быть эрмитов, т.е. Это дает или следовательно,

Чтобы показать, что это симметричное выражение действительно является оператором, канонически сопряженным с радиусом мы должны проверить справедливость перестановочного соотношения

при условии, что оно выполняется для прямоугольных декартовых компонент. Для доказательства справедливости соотношения (59.4) воспользуемся равенством

которое сразу же следует из формулы скалярного произведения в прямоугольной декартовой системе координат. Мы имеем

Здесь

и так как

то

и мы получаем

Тем самым справедливость соотношения (59.4) установлена.

Чтобы найти явный вид оператора в координатном представлении, запишем равенство (59.3) в декартовых координатах

и учтем, что

Следовательно,

Добавляя сюда аналогичные результаты, относящиеся к и замечая, что

окончательно получаем (см. также задачу 49)

Эрмитовость этого оператора легко показать, непосредственно проверив справедливость соотношения

для любой пары комплексных функций и и для которых эти интегралы имеют смысл. Мы находим

Эти два интеграла будут равны в том случае, если

или

Внутренний интеграл можно преобразовать к виду

- так что он действительно обращается в нуль, если функции и и конечны в точке и исчезают на бесконечности. Следует, однако, заметить, что нормировочные интегралы существуют и в том случае, когда функции и имеют в начале координат особенность вида Таким образом, одного условия нормировки не всегда бывает достаточно для исключения не имеющих физического смысла решений, например в случае сферически симметричной ямы при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление