Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 60. Решения, близкие к собственным функциям

Дана потенциальная яма радиусом а с характеристическим безразмерным параметром

где глубина ямы. Построить графики волновых функций для волновое число внутри ямы). Эти значения произведения выбраны таким образом, что они лежат довольно близко к наинизшему собственному значению.

Решение. Обозначим посредством

энергетический, параметр вне ямы, тогда волновая функция внутри и вне ямы будет соответственно иметь вид

и

где

— безразмерная радиальная координата с радиусом ямы в каче стве единицы длины.

Фиг. 34. Волновые функции для энергетических уровней, близких к собственному значению гамильтониана.

Нормировка волновой функции выбрана таким образом, чтобы выполнялись начальные условия при а коэффициенты функции определены из условия непрерывности на границе ямы в точке

Для получения собственных значений необходимо потребовать, чтобы коэффициенты при гиперболических функциях в формуле (60.26) удовлетворяли соотношению

которое с учетом равенства (60.1) можно записать в виде

(ср. задачу 25). Для случая решение равно

Волновые функции (60.2а) и (60.26) изображены на фиг. 34, здесь же схематически показаны потенциальная яма и соответ

ствующие энергетические уровни. Если выбранное значение энергии меньше собственного значения, то длина волны внутри ямы оказывается слишком большой, и уменьшение амплитуды волновой функции на границе ямы недостаточно для того, чтобы заставить ее асимптотически стремиться к нулю — на больших расстояниях волновая функция вновь возрастает. С другой стороны, если выбранное значение энергии слишком велико, а следовательно, длина волны внутри ямы слишком мала, то уменьшение амплитуды волновой функции на границе ямы оказывается чрезмерным и она обращается в нуль уже на конечном расстоянии, но в дальнейшем, будучи отрицательной, вновь возрастает по абсолютной величине. Промежуточное значение энергии настолько близко расположено к собственному значению (60.5), что волновая функция вне ямы почти точно стремится к нулю. Так как тем не менее эта энергия все-таки немного больше энергии основного уровня, то амплитуда волновой функции на большом расстоянии от ямы становится отрицательной и растет по абсолютной величине — это возрастание отсутствует лишь для того значения произведения которое определяется формулой (60.5).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление