Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 61. Квадрупольный момент

Для частицы в сферически симметричном поле вычислить квадрупольный момент в случае состояния с определенными значениями квадрата момента и его проекции на ось

Решение. Волновая функция, описывающая интересующее нас состояние, имеет вид

а тензор квадрупольного момента, согласно определению задачи 54, равен

Мы должны вычислить квантовомеханические средние

Недиагональные компоненты тензора зависят от угла соответственно как в то время как от угла не зависит, поэтому соответствующие интегралы обращаются в нуль. Для диагональных компонент

интегрирование по дает множитель и так как

то интегралы можно свести к интегралу

Вводя сокращенное обозначение

мы, таким образом, имеем

Интеграл в (61.6) легко вычислить, если воспользоваться соотношением

где

Учитывая ортогональность сферических функций, получаем

и элементарное вычисление теперь дает

Мы видим, что квадрупольный момент отсутствует только у -состояний что является следствием сферической симметрии. Для -состояний мы, например, имеем

Состояние с соответствующее распределению вытянутой формы, характеризуется положительным значением . У состояний с компонента в 2 раза меньше по величине и отрицательна, что, очевидно, соответствует распределению сплюснутой формы. Это представляется вполне разумным, так как суперпозиция всех трех состояний приводит к сферически симметричной конфигурации (конфигурация замкнутой оболочки). На самом деле эффект замкнутой оболочки имеет место для любых значений Суммируя по всем состояниям, относящимся

к данной оболочке, получаем

но сумма, стоящая в правой части этого равенства, равна нулю, так как

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление