Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 64. Потенциал Вуда — Саксона

Сферически симметричная потенциальная яма описывается потенциалом

Требуется определить энергию связанных состояний с

Замечание. Этот потенциал использовался для описания взаимодействия нейтрона с тяжелым ядром. Параметр интерпретируется как радиус ядра, другой параметр а характеризует толщину поверхностного слоя, внутри которого потенциал падает от значения снаружи ядра до значения внутри ядра (фиг. 37). При получается простая потенциальная яма со скачком потенциала на поверхности ядра.

Фиг. 37. Потенциал Вуда — Саксона для случая и сферически симмегричная прямоугольная яма, соответствующая случаю

Решение. После введения обозначений

уравнение Шредингера

путем замены независимой переменной

приводится к виду

К этому уравнению необходимо присоединить граничные условия

Полагая далее

получаем

Если параметры выбраны таким образом, что

то множитель при в уравнении (64.6) не будет зависеть от у и оно перейдет в гипергеометрическое уравнение

Соответствующее (ненормированное) решение имеет вид

Другое независимое решение можно получить, заменяя на однако оно не удовлетворяет первому из граничных условий (64.4). В случае больших значений равенство (64.9) дает

Таким образом, наше решение обладает правильным асимптотическим поведением.

Другому граничному условию при (или вблизи) удовлетворить не так просто. Чтобы выяснить поведение решения

(64.9) вблизи точки мы воспользуемся соотношением

в силу которого

Чтобы проанализировать это выражение, прежде всего заметим, что и поэтому величина согласно равенству (64.7), является чисто мнимой:

Таким образом, можно написать

Вблизи точки экспонента в правой части равенства (64.3) очень мала, поэтому здесь мы можем приближенно положить

Пусть далее по определению,

Если теперь опустить множитель, стоящий перед квадратными скобками в выражении (64.12), что мы вполне можем сделать, так как наша функция не нормирована, и затем подставить туда вместо выражение (64.13), то граничное условие нам даст

Отсюда для собственных значений получается уравнение

или

Это уравнение действительно устанавливает связь между , а следовательно, и между при данных значениях параметров

Формула (64.15) все еще мало пригодна для практического использования. Однако с помощью разложения

где постоянная Эйлера, мы можем получить для аргументов и -функций удобные для практических целей явные выражения:

Подставляя эти выражения в уравнение (64.15), получаем

Для дальнейшего анализа удобно ввести новые параметры:

Эти параметры не зависят от толщины поверхностного слоя а и поэтому сохраняют смысл в предельном случае простой потенциальной ямы, когда Используя введенные параметры, уравнение (64.16) можно переписать в следующем виде:

При сумма, стоящая в квадратных скобках, обращается в нуль, и мы возвращаемся к уравнению для уровней энергии в простой потенциальной яме:

Производя в (64.18) разложение в ряд по степеням малого параметра

окончательно находим

где в целях сокращения мы положили

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление