Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 66. Вырожденные состояния изотропного осциллятора

Показать, что собственную функцию изотропного осциллятора с квантовыми числами можно сконструировать как линейную комбинацию вырожденных функций, полученных разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах.

Решение. В прямоугольных декартовых координатах уравнение Шредингера для изотропного осциллятора можно записать в виде

где

и К обозначают те же величины, что и в предыдущей задаче. С помощью разделения переменных

для каждой из независимых переменных мы получаем простые осцилляторные уравнения, первое из которых, например, имеет вид

Соответствующие собственные значения равны

целое неотрицательное число. Как было показано в задаче 30, (ненормированная) собственная функция уравнения (66.3) при четных равна

а при нечетных равна

То же самое имеет место и для функций (соответствующие квантовые числа мы будем обозначать посредством поэтому полная энергия должна быть равна

С другой стороны, при разделении переменных в сферических координатах, как мы видели,

следовательно, в состоянии с квантовыми числами мы имеем а соответствующая собственная функция, согласно формуле (65.12), равна

Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать выражение (66.7) в прямоугольных декартовых координатах и результат выразить в виде линейной комбинации функций для которых

Мы имеем

В каждом произведении присутствует один и тот же экспоненциальный множитель, который в дальнейшем, при сравнении функций, мы опустим. Так как то в формулах (66.4а) и (66.46) первый параметр вырожденной гипергеомеурической функции не может превосходить 2. Эти же соображения, разумеется, относятся и к гипергеометрическим функциям, через которые выражаются функции Поэтому нам

придется иметь дело лишь со следующими полиномами:

Как показано в нижеследующей таблице, число 4 [см. формулу (66.8)] можно разбить на сумму трех целочисленных


(см. скан)

слагаемых пятнадцатью различными способами. Так как интересующий нас полином (66.9) содержит только четные степени переменных то 9 функций, полученных разделением переменных в прямоугольных декартовых координатах, в которых фигурируют нечетные степени те функции, где хотя бы одно из трех чисел па нечетное), в искомую линейную комбинацию вклада не дадут. В последнем столбце таблицы мы приводим коэффициенты, на которые необходимо умножить соответствующие функции для того, чтобы их сумма оказалась равной полиному (66.9). Так как в нашем распоряжении имеется всего 6 слагаемых, а полином (66.9) содержит 10 членов, то у нас остается еще 4 соотношения, которые можно использовать для контроля правильности вычислений.

Замечание. Сопоставьте этот анализ с результатами задачи 42, где разбирался вопрос о вырожденных состояниях изотропного осциллятора на плоскости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление