Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 69. Молекулярный потенциал Кратцера

Для анализа вращательно-колебательного спектра двухатомной молекулы Кратцер предложил использовать потенциал вида

с минимумом (фиг. 40). Решить уравнение Шредингера, считая, что один из атомов значительно тяжелее другого (примером может служить молекула . В этом предположении тяжелый атом можно считать неподвижным и связать с ним начало системы координат (в противном случае нам пришлось бы решать эквивалентную одночастичную задачу — см. подробности в задаче 150).

Фиг. 40. Молекулярный потенциал Кратцера.

Решение. Движение легкого атома массы описывается уравнением Шредингера

допускающим разделение переменных

Используя безразмерные величины

где в случае связанных состояний действительно и также больше нуля, мы получаем для радиальной части волновой функции дифференциальное уравнение вида

Оно имеет существенно особую точку при вблизи которой нормируемые решения, соответствующие связанным состояниям, ведут себя как и другую особую точку при где а показатель X является корнем характеристического уравнения

Из двух корней этого квадратного уравнения надо нужен лишь положительный корень:

Так как то волновая функция обращается в нуль при что объясняется наличием сильного отталкивания между атомами (см. фиг. 40). Приведенные соображения наводят на мысль положить

Подстановка выражения (69.7) в уравнение (69.5) приводит к уравнению Куммера общего вида для вырожденной гипергеометрической функции:

Стандартная форма уравнения Куммера получается после замены х на Таким образом, имеем

Теперь мы по отдельности разберем случаи отрицательных и положительных энергий.

а. Отрицательные энергии. Для связанных состояний и решение (нормировка произвольная) принимает вид

Для больших значений х вырожденная гипергеометрическая функция пропорциональна поэтому функция неограниченно возрастает при если функция не вырождается в

полином. Когда же такое вырождение имеет место, функция стремится к нулю при и решение действительно становится нормируемым. Следовательно,

Соотношение (69.11) определяет собственные значения и приводит к следующей формуле для энергетических уровней:

эту формулу с учетом соотношения (69.6) можно записать в виде

Остановимся на анализе этой формулы несколько подробнее. Так как для большинства молекул то выражение (69.12) можно разложить в ряд по степеням Это даст

Выражение (69.1) для потенциала также можно разложить вблизи минимума в точке

Отсюда для классической частоты малых гармонических колебаний получается выражение

Заменяя в формуле (69.13) величины на частоту и момент инерции

получаем

Первый член в этом выражении является постоянной и непосредственно не сказывается на положении спектральных линий, хотя его значение и можно вычислить на основании спектроскопических данных. Второй член описывает колебательные уровни, характеризующиеся колебательным квантовым числом у. Третий член

соответствует вращательным уровням с постоянным моментом инерции [так как то это слагаемое содержит еще один постоянный член]. Четвертый член ведет к некоторому понижению колебательных уровней, обусловленному ангармоничностью потенциала. Наконец, пятый член характеризует связь между вращениями и колебаниями, что опять-таки обусловлено ангармоничностью потенциала. Разумеется, наше разложение оказывается тем хуже, чем больше квантовые числа, особенно колебательное квантовое число и, и поэтому им нельзя пользоваться в случае энергий, близких к энергии диссоциации Однако для таких энергий вся модель вообще теряет смысл из-за нефизического характера поведения потенциала при очень больших и очень малых

В заключение приведем формулу для энергии диссоциации молекулы, получающуюся из выражения (69.17) при

Положительные энергии. В этом случае чисто мнимая величина. Если ввести волновое число то, как показывает определение, мы можем написать следовательно, Вместо решения (69.10) теперь имеем

(Здесь нормировка по-прежнему произвольна). Как и раньше, в точке волновая функция обращается в нуль. Ее асимптотика определяется с помощью известной формулы

которая выполняется на всей комплексной плоскости с разрезом вдоль положительной мнимой полуоси. Применение этой формулы к выражению (69.19) после довольно длинных преобразований дает

где фазовый угол определяется соотношением

(не представляющая интереса) нормировочная постоянная.

С точностью до логарифмического члена радиальные части волновых функций (69.20) оказываются периодическими, когда

расстояние между атомами велико. Логарифмическое искажение периодичности обусловлено тем, что рассматриваемый потенциал асимптотически подобен кулоновскому потенциалу (см. задачу 111). Интерпретируя потенциал Кратцера как потенциал взаимодействия пары ионов, каждый из которых имеет электрический заряд мы находим, что скорость), и, таким образом, действительно можем отождествить логарифмический член формулы (69.20) с логарифмическим членом в кулоновском поле.

Замечание. Потенциал Кратцера сыграл большую роль на ранней стадии развития квантовой механики, так как он позволял получать точные решения даже в том случае, когда Однако этот потенциал гораздо менее физичен, чем потенциал Морса, который тем не менее все еще "достаточно прост, чтобы с его помощью можно было построить теорию рассматриваемого круга явлений. Потенциалу Морса будут посвящены две следующие задачи. Полученные там результаты, по крайней мере для связанных состояний, можно будет сравнить с результатами, найденными нами в случае потенциала Кратцера.

Литература

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление