Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 72. Потенциал Юкавы

Дан потенциал Юкавы

соответствующий наличию притяжения между двумя частицами (например, между двумя нуклонами). В рамках вариационной процедуры Ритца найти для случая оптимальное решение, используя пробную волновую функцию

где

а — вариационный параметр Ритца. При каком минимальном размере потенциальной ямы возможно существование связанных состояний? (В системе центра масс проблема сводится к одночастичному уравнению Шредингера с приведенной массой , см. задачу 150.)

Решение. Прежде всего найдем постоянную С с помощью условия нормировки

Отсюда имеем

Среднее значение энергии представляет собой сумму двух интегралов:

Элементарное интегрирование дает

Для дальнейшего удобно ввести безразмерные переменные

Первая из них представляет собой отношение среднего радиуса потенциальной ямы к среднему радиусу той области, где волновая функция заметно отличается от нуля, вторая же характеризует эффективный размер потенциальной ямы. Теперь мы можем преобразовать равенство (72.5) к виду

Используя в качестве вариационного параметра вместо величины а величину получим оптимальное решение из условия которое сразу же дает

Если теперь выражение (72.8) подставить в формулу (72.7), то

оптимальное значение энергии будет равно

Так как величина по определению положительная, то связанные состояния могут существовать только в том случае, когда или, как это следует из формулы (72.8), когда . В рассматриваемом приближении этим неравенством и определяется минимальный размер потенциальной ямы, в которой возможно существование связанных состояний. Ниже мы приводим цифровые данные, полученные по формулам (72.8) и (72.9).

(см. скан)

Замечание. Использованное приближение является довольно хорошим. Если пробную функцию (72.1) заменить менее удачной функцией

то вариационная процедура даст

Очевидно, в этом случае связанные состояния могут существовать только при условии т. е. для значений

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление