Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 77. Уравнение Шредингера в импульсном представлении в поле центральных сил

В задаче 14 было получено интегральное уравнение, которому в общем случае должны удовлетворять волновые функции импульсного представления. Показать, что в поле центральных сил решения этого уравнения можно представить в виде произведения

В частном случае атома водорода получить интерральное уравнение для функции

Решение. Интегральное уравнение (14.6), записанное в атомных единицах, имеет вид

где

В том случае, когда потенциал зависит только от модуля радиус-вектора оно сводится к интегральному уравнению для функции Действительно, в этом случае в формуле (77.3) можно произвести интегрирование по телесному углу, так что в результате получится ядро, зависящее только от модуля вектора :

Но тогда ядро интегрального уравнения (77.2) будет функцией переменной

где — угол, образованный векторами и ядро можно будет разложить в ряд по полиномам Лежандра. Это разложение имеет вид

причем коэффициенты разложения зависят только от абсолютных значений Именно это обстоятельство позволяет представить волновую функцию в виде произведения (77.1).

Подставляя в интегральное уравнение (77.2) вместо функции ее выражение (77.1), получаем

Интеграл по углам можно вычислить с помощью теоремы сложения:

В результате от суммы остается только член с индексами и мы получаем

По угловым переменным последнее равенство является тождеством, что подтверждает корректность представления (77.1). Что же касается функции то для нее мы имеем интегральное уравнение

В частном случае атома водорода

и интеграл (77.4) с помощью предельного перехода

можно вычислить до конца, в результате получаем

Отсюда, согласно формуле (77.5),

и

Полагая замечаем, что в рассматриваемом случае равенство (77.6) представляет собой хорошо известное разложение

коэффициентами которого служат так называемые функции Лежандра второго рода

Следовательно, в нашем случае

и интегральное уравнение окончательно принимает вид

Замечание. Интегральное уравнение (77.14) было решено В. Фоком [см. Zs. Phys., 98, 145 (1935)]. При таком подходе волновые функции в импульсном представлении находятся без помощи собственных функций в координатном представлении. Однако в случае кулоновского поля второй способ оказывается более простым, и мы рассмотрим его в следующей задаче.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление